📂位相幾何学

ウィルティンガーの不等式とチーチェの拡張定理

定理

ウリソンの補題 ¹

$X$ が正規空間であれば、全ての閉集合 $A \cap B = \emptyset$ と $A, B \subset X$ に対して、$f(A) = \left\{ 0 \right\}$ と $f(B) = \left\{ 1 \right\}$ を満たす連続関数 $f:X \to [0,1]$ が存在する。

チーチェの拡張定理 ²

正規空間 $X$ 内の閉集合 $C$ に対して、$f : C \to \mathbb{R}$ が連続であれば、$F |_{C} = f$ を満たす連続関数 $F : X \to \mathbb{R}$ が存在する。

説明

ウリソンの補題は位相数学を使うあらゆる分野で動員されるだけあって、書かれている言葉から位相的な特徴がすぐわかる。

チーチェの拡張定理は、実関数論（確率論）などで特に定理として名付けるほどではないが頻繁に使われる理論的基盤だ。

ただし、正規空間であることが条件である以上、これらの定理をそのまま使うのは容易ではない。そのため、一般位相数学では、ある空間の正規性を示すために多大な努力をする。

• (1): 距離空間は正規空間である。
• (2): コンパクト ハウスドルフ空間は正規空間である。
• (3): リンデレフ 正則空間は正規空間である。

分離性質を持つ空間の関係を図式化すると次のように表せる。

ある空間が正規空間であるということは、実質的に分離性質をほとんど持つという意味だ。仮に $T_{1.5}$ や $T_{3.5}$ のような奇怪な空間があっても、このような記法を使っていれば、$T_{4}$ はこれらの性質を持つ。