📂位相幾何学

ウリゾーンの補題とティーツェの拡張定理

定理

ウリゾーンの補題¹

$X$が正規空間であれば、$A \cap B = \emptyset$ であるすべての閉集合 $A, B \subset X$に対して、$f(A) = \left\{ 0 \right\}$と$f(B) = \left\{ 1 \right\}$を満たす連続関数$f:X \to [0,1]$が存在する。

ティーツェの拡張定理²

正規空間 $X$における閉集合$C$に対して、$f : C \to \mathbb{R}$が連続であれば、$F |_{C} = f$を満たす連続関数 $F : X \to \mathbb{R}$が存在する。

説明

ウリゾーンの補題は位相数学を使うあらゆる分野で動員されるだけあって、その主張の文面からしていかにも位相らしい姿をしている。

ティーツェの拡張定理は、実関数論（確率論）などではわざわざ定理という名前で呼ばれもしないほど頻繁に使われる理論的土台である。

ただし、正規空間であることが条件である以上、これらの定理をそのまま持ってきて使うには容易でない面がある。そのためか、一般位相数学ではある空間の正規性を示すために絶えず多くの努力が払われる。

• (1): 距離空間は正規空間である。
• (2): コンパクトハウスドルフ空間は正規空間である。
• (3): リンデレフ正則空間は正規空間である。

分離性質を持つ空間たちの関係を図式化すると次のように表せる。

ある空間が正規空間であるということは、事実上、分離性質をほとんどすべて持っているという意味である。仮に$T_{1.5}$や$T_{3.5}$のような奇怪な空間があったとしても、このような記法を使っている限り、$T_{4}$はこれらの性質を持つ。