等温大気中の高さに応じた気体分子数の公式
📂熱物理学等温大気中の高さに応じた気体分子数の公式
式
温度 Tが一定だとするとき、高さ hでの単位体積 V=1当たりの気体分子の数を N(h)としよう。気体分子の質量が mで、重力加速度が gであれば、次の式が成り立つ。
N(h)=N(0)e−kBTmgh
説明
この式は、もともと熱力学ではそれほど目立たないが、導出の二つの方法が全く異なる点が面白い。
導出
微分方程式を使って
高さ hから h+dhまでの空気層を考えてみよう。単位面積内には Ndh個の気体分子が存在するだろうし、かけられた圧力は dp=−Ndh⋅mgで与えられる。
理想気体の方程式
pV=NkBT
理想気体の方程式から、体積が V=1で固定されているので、以下の式を得る。
p=NkBT⟹dp=kBTdN
dp=−Ndh⋅mgを代入して整理すると次のようになる。
N1dN=−kBTmgdh
上の分離可能な一階微分方程式を解くと以下のようになる。
⟹⟹lnN(h)−lnN(0)=lnN(h)=lnN(h)=−kBTmghlnN(0)+lne−mgh/kBTln(N(0)e−mgh/kBT)
対数を解くと、次の式を得る。
N(h)=N(0)e−mgh/kBT
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ボルツマン分布を使って
ボルツマン分布
P(ϵ)∝e−ϵ/kBT
気体分子の質量が mで、高さが hの気体分子の重力ポテンシャルエネルギーは mghである。従って、気体分子のエネルギーが mghである確率は、ボルツマン分布に従って次のようになる。
P(mgh)∝e−mgh/kBT
ここで、P(mgh)は高さ hで N(h)個の気体分子を見つける確率であるから、
N(h)=N(0)e−mgh/kBT
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