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等温大気中の高さに応じた気体分子数の公式 📂熱物理学

等温大気中の高さに応じた気体分子数の公式

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温度 TTが一定だとするとき、高さ hhでの単位体積 V=1V=1当たりの気体分子の数を N(h)N(h)としよう。気体分子の質量が mmで、重力加速度が ggであれば、次の式が成り立つ。

N(h)=N(0)emghkBT N(h) = N(0) e^{- {{mgh} \over {k_{B} T}} }

説明

この式は、もともと熱力学ではそれほど目立たないが、導出の二つの方法が全く異なる点が面白い。

導出

微分方程式を使って

高さ hhから h+dhh + dhまでの空気層を考えてみよう。単位面積内には NdhN dh個の気体分子が存在するだろうし、かけられた圧力dp=Ndhmgdp = - N dh \cdot mgで与えられる。

理想気体の方程式

pV=NkBT pV = N k_{B} T

理想気体の方程式から、体積が V=1V=1で固定されているので、以下の式を得る。

p=NkBT    dp=kBTdN p = N k_{B} T \implies dp = k_{B} T d N

dp=Ndhmgdp = - N dh \cdot mgを代入して整理すると次のようになる。

1NdN=mgkBTdh {{1} \over {N}} dN = - {{mg} \over {k_{B} T}} dh

上の分離可能な一階微分方程式を解くと以下のようになる。

lnN(h)lnN(0)=mgkBTh    lnN(h)=lnN(0)+lnemgh/kBT    lnN(h)=ln(N(0)emgh/kBT) \begin{align*} && \ln N(h) - \ln N(0) =& - {{mg} \over {k_{B} T}} h \\ \implies && \ln N(h) =& \ln N(0) + \ln e^{-mgh / k_{B} T} \\ \implies && \ln N(h) =& \ln \left( N(0) e^{-mgh / k_{B} T} \right) \end{align*}

対数を解くと、次の式を得る。

N(h)=N(0)emgh/kBT N(h) = N(0) e^{ -mgh / k_{B} T }

ボルツマン分布を使って

ボルツマン分布

P(ϵ)eϵ/kBT P(\epsilon) \propto e^{ - \epsilon /k_{B} T }

気体分子の質量が mmで、高さが hhの気体分子の重力ポテンシャルエネルギーは mghmghである。従って、気体分子のエネルギーが mghmghである確率は、ボルツマン分布に従って次のようになる。

P(mgh)emgh/kBT P(mgh) \propto e^{ -mgh / {k_{B} T} }

ここで、P(mgh)P(mgh)は高さ hhN(h)N(h)個の気体分子を見つける確率であるから、

N(h)=N(0)emgh/kBT N(h) = N(0) e^{ -mgh / k_{B}T }


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 熱物理学(Concepts in Thermal Physics, 2版, 2014), p56-57 ↩︎