📂熱物理学

等温大気における高さによる気体分子数の公式

公式¹

気温$T$が一定だとするとき、高さ$h$での単位体積$V=1$当たりの気体分子の数を$N(h)$としよう。気体分子の質量が$m$で、重力加速度が$g$ならば、次の式が成り立つ。

$$ N(h) = N(0) e^{- {{mgh} \over {k_{B} T}} } $$

説明

この公式はもともと熱力学ではたいしたものではないが、導出する二つの方法がまるっきり異なる点が面白い。

導出

微分方程式を用いて

高さ$h$から$h + dh$までの空気層を考えてみよう。単位面積内には$N dh$個の気体分子があるはずで、加えられる圧力は$dp = - N dh \cdot mg$で与えられる。

理想気体の方程式

$$ pV = N k_{B} T $$

理想気体の方程式で体積が$V=1$に固定されているので、以下の式を得る。

$$ p = N k_{B} T \implies dp = k_{B} T d N $$

$dp = - N dh \cdot mg$を代入して整理すると次のようになる。

$$ {{1} \over {N}} dN = - {{mg} \over {k_{B} T}} dh $$

上の分離可能な一階微分方程式を解くと以下のようになる。

$$ \begin{align*} && \ln N(h) - \ln N(0) =& - {{mg} \over {k_{B} T}} h \\ \implies && \ln N(h) =& \ln N(0) + \ln e^{-mgh / k_{B} T} \\ \implies && \ln N(h) =& \ln \left( N(0) e^{-mgh / k_{B} T} \right) \end{align*} $$

対数を外すと次の式を得る。

$$ N(h) = N(0) e^{ -mgh / k_{B} T } $$

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ボルツマン分布を用いて

ボルツマン分布

$$ P(\epsilon) \propto e^{ - \epsilon /k_{B} T } $$

気体分子の質量が$m$、高さが$h$の気体分子の重力ポテンシャルエネルギーは$mgh$である。したがって、気体分子のエネルギーが$mgh$である確率は、ボルツマン分布に従って次のようになる。

$$ P(mgh) \propto e^{ -mgh / {k_{B} T} } $$

ここで$P(mgh)$は高さ$h$で$N(h)$個の気体分子を見つけられる確率となるので、

$$ N(h) = N(0) e^{ -mgh / k_{B}T } $$

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