📂数理物理学

ガウスの定理, 発散定理

定理¹

3次元ベクトル関数$\mathbf{F}$について、以下が成り立つ。

$$\begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{F} dV = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} \label{1} \end{equation}$$

ここで、$\nabla \cdot \mathbf{F}$はダイバージェンス、$\int_{\mathcal{V}}$は体積積分、$\oint_{\mathcal{S}}$は閉曲面積分である。

説明

これをガウスの定理^{Gauss’s theorem}、グリーンの定理^{Green’s theorem}、または発散定理^{divergence theorem}と呼ぶ。特に電磁気学でよく使用される。

数式的意味

数式的には、面積分を体積積分に、体積積分を面積分に変換できるという意味である。つまり、三重積分と二重積分を互いに変換できるということである。

物理的意味

物理的には、各点（小さい体積）で入ってくる量と出て行く量の総和$\big( \eqref{1}$の左辺は、全体の体積の表面で入ってくる量と出て行く量の総和$\big( \eqref{1}$の右辺と同じという意味である。

簡単な例として、ある部屋に人々がいると考えてみよう。人々はドアを通して部屋に入ったり、部屋を出たりする。部屋の中とドアを見ている2名の観察者がいるとする。合計で2名が部屋に入り、3名が部屋から出たとしよう。この場合、**部屋の中の観察者が見た人の変化²は$|2-3|=1$**であり、**ドア番が見た人の変化³は$|3-2|=1$**である。（$1$名がドアを開けて出た時、$+1$と数えるとする）この2つは常に同じである。

証明

それぞれの面の体積積分を全て足した時に、発散の体積積分と同じになるか確認しよう。まずは、下の図のように各点の座標と各面の名前を設定しよう。

全ての面について面積分を足すと、以下のようになる。

$$\int _{S_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int_ {S_2} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 + \int_ {S_{3}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_ + \int_ {S_{4}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{4} + \int _{S_{5}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{5}+\int _{S_{6}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{6}$$

まず、$x$軸に垂直な$S_{1}$と$S_2$の面について計算してみよう。$\mathbf{F}= F_{x} \hat{\mathbf{x}} + F_{y} \hat{\mathbf{y}} + F_{z} \hat{\mathbf{z}}$であり、各面の方向は外向きである。$\mathbf{F}$の方向が$S_{1}$の方向と同じだとしよう。すると、二つの面積分は以下のようになる。

$$\begin{align*} \int _{S_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int _{S_2} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 &= \int_ {S_{1}} F_{x} dS_{1} - \int _{S_2} F_{x} dS_2 \\ &= \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} F_{x} (x+\Delta x,y,z) dydz - \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} F_{x} (x,y,z) dydz \\ &= \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \bigg[ F_{x} (x+\Delta x,y,z) - F_{x} (x,y,z) \bigg] dydz \end{align*}$$

この時点で、微積分学の基本定理によれば$\displaystyle \int _{a} ^b \dfrac{ dF(x)}{dx}dx=F(b) - F(a)$であるので、以下のようにまとめることができる。

$$\begin{align*} & \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \left[ F_{x} (x+\Delta x,y,z) - F_{x} (x,y,z) \right] dydz \\ =&\ \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \left[ \int_{x} ^{x +\Delta x} \dfrac{ \partial F_{x}(x,y,z) }{\partial x} dx \right] dydz \\ =&\ \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \int_{x} ^{x +\Delta x} \dfrac{ \partial F_{x}(x,y,z) }{\partial x} dx dydz \\ =&\ \iiint \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} dV \end{align*}$$

よって、以下の結果を得る。

$$\int_ {S_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int_ {S_2} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 =\iiint \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} dV$$

同様に、$S_{3}$と$S_{4}$に対する面積分と、$S_{5}$と$S_{6}$に対する面積分を計算すると、以下のようになる。

$$\int _{S_{3}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int _{S_{4}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 =\iiint \dfrac{ \partial F_{y} }{\partial y} dV$$

$$\int_ {S_{5}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{5} + \int_ {S_{6}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 =\iiint \dfrac{ \partial F_{z} }{\partial z} dV$$

最後に、6面すべてに対する面積分を全部足すと、以下のようになる。

$$\begin{align*} \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} &= \iiint \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} dV + \iiint \dfrac{ \partial F_{y} }{\partial y} dV +\iiint \dfrac{ \partial F_{z} }{\partial z} dV \\ &= \iiint \left[ \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} + \dfrac{ \partial F_{y} }{\partial y} + \dfrac{ \partial F_{z} }{\partial z} \right] dV \\ &= \iiint \nabla \cdot \mathbf{F} dV \\ &= \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{F} dV \end{align*}$$

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