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ルベーグ積分可能 📂測度論

ルベーグ積分可能

定義 1

基本性質

  • [2]: fL1(E)f \in \mathcal{L}^{1} (E) ならば EfdmEfdm\displaystyle \left| \int_{E} f dm \right| \le \int_{E} | f | dm
  • [3]: fL1(E)f \in \mathcal{L}^{1} (E) そして cRc \in \mathbb{R} ならば E(cf)dm=cEfdm\displaystyle \int_{E} (c f) dm = c \int_{E} f dm
  • [4]: f,gL1(E)f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) ならば E(f+g)dm=Efdm+Egdm\displaystyle \int_{E} ( f + g ) dm = \int_{E} f dm + \int_{E} g dm
  • [5]: f,gL1(E)f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) そして fgf \le g ならば EfdmEgdm\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm
  • [6]: 全ての EME \in \mathcal{M} に対して Efdm=Egdm\displaystyle \int_{E} f dm = \int_{E} g dm ならば ほとんど至る所で f=gf= g だ。

説明

性質 1 が定義の直下にあるからといって簡単に見えるかもしれないが、ちょっと経つと混乱しやすいから、よく覚えておくこと。

一方で性質 [3]~[5] からは、L1(E)\mathcal{L}^{1}(E)ベクトル空間であることがわかる。


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p86. EME \in \mathcal{M} とするとき、可測関数 ff については f+:=max{f,0}f:=max{f,0}f^{+} := \max \left\{ f , 0 \right\} \\ f^{-} := \max \left\{ -f , 0 \right\} と表す。すると f=f+ff=f++f f = f^{+} - f^{-} \\ | f | = f^{+} + f^{-} と表せる。もし Efdm<\displaystyle \int_{E} | f | dm < \infty、すなわち Ef+dm<Efdm< \int_{E} f^{+} dm < \infty \\ \int_{E} f^{-} dm < \infty ならば ffルベーグ積分可能lesbegue Integrableという。EE の積分可能な関数の集合を次のように表す。 L1(E):={f  Efdm<} \mathcal{L}^{1}(E) : = \left\{ f \ \left| \ \int_{E} | f | dm < \infty \right. \right\}  ↩︎