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1階線形微分方程式の積分因子法

概要¹

一次線形微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$の解は次のように与えられる。

$$ \begin{align*} y(x)&=\dfrac{1}{e^{\int p(x) dx}} \left[ \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx +C \right] \\ &=e^{-\int p(x) dx}\int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + e^{-\int p(x) dx}C \end{align*} $$

説明

$y^\prime+p(x)y=q(x)$形の微分方程式を一次線形微分方程式という。ここで、$q(x)=0$ならば直接変数分離が可能で、分離可能な微分方程式の解法に従って解けば良い。しかし、$q(x) \ne 0$の場合は直接変数分離ができない。変数分離可能な微分方程式を説明する際に、変数分離ができなければ可能にして解くと言った。その方法の一つがまさに積分因子法^{method of integrating fator}である。

証明

まず、与えられた微分方程式を見てみよう

$$ \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) $$

この状態では変数分離ができないので、目的はこの方程式を分離可能にすることである。まずは両辺に$\lambda (x)$を掛けよう。

$$ \lambda (x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda (x) p(x) y = \lambda (x) q(x) $$

この時掛けた$\lambda (x)$が次の条件

$$ \dfrac{d}{dx} \left( \lambda (x) y \right) = \lambda (x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda (x) p(x) y $$

を満たす関数だとしよう。すると、与えられた微分方程式が$\dfrac{d}{dx} \left( \lambda (x) y \right)=\lambda (x) q(x)$として分離可能な形に変わる。そのまま両辺に積分を取れば次のようになる。

$$ \begin{align*} && \int \dfrac{d}{dx} \left(\lambda (x) y \right) &= \int \lambda (x) q(x) dx \\ \implies && \lambda (x) y&=\int \lambda (x) q(x) dx +C \\ \implies && y&=\dfrac{1}{\lambda (x)} \left[ \int \lambda (x) q(x) dx +C \right] \\ && &=\dfrac{1}{\lambda (x)} \int \lambda (x) q(x) dx + \dfrac{C}{\lambda (x)} \end{align*} $$

与えられた微分方程式に$\lambda (x)$を掛けて、$x$に対する$y$の一般式を得た。ここで、積分定数$C$を含む項に注意が必要だ。例えば、不定積分で複数の積分定数が出た場合、全部一つの新しい積分定数として一般的に$C_{1}+C_2=C_{3}$と表されることに気をつけろ。しかし、$\lambda (x) ^{-1}C$では、$\lambda (x)$は定数でないので、項全体を新しい定数$C_{1}$として表すことはできない。

残る問題は、この微分方程式を解けるようにしてくれる$\lambda (x)$の正体が何であるかである。$\lambda (x)$の条件から以下を得る。

$$ \dfrac{d}{dx} \left( \lambda (x) y \right) = \dfrac{d \lambda (x)}{dx}y + \lambda (x) \dfrac{dy}{dx}=\lambda (x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda (x) p(x) y $$

従って、

$$ \begin{align*} && \dfrac{d \lambda (x)}{dx}&=\lambda (x) p(x) \\ \implies && \dfrac{1}{\lambda (x) } d \lambda (x)&=p(x) dx \\ \implies && \ln \lambda (x) &=\int p(x) dx +C_{1} \\ \implies &&\lambda (x) &= Ce^{\int p(x) dx} \end{align*} $$

この時、積分定数$C_{1}$はどの道削除されるので、$\lambda (x) = e^{\int p(x) dx}$と書いても問題ない。最初に$\lambda (x)$を両辺に掛けたことを考えれば、積分定数がただちに削除されることが簡単にわかる。これで得られた$\lambda (x)$を先に得た$y(x)$に代入すれば、

$$ \begin{align*} y(x)&=\dfrac{1}{e^{\int p(x) dx}} \left[ \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx +C \right] \\ &=e^{-\int p(x) dx}\int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + e^{-\int p(x) dx}C \end{align*} $$

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一見、この方法で全ての一次常微分方程式の解を求めることができそうだが、解に登場する不定積分を計算できなければ不可能である。つまり、$\displaystyle \int p(x) dx$と$\int e^{\int p(x) dx} q(x) dx $が存在する場合にのみ解を求めることができる。