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位相数学における固定点性質とは? 📂位相幾何学

位相数学における固定点性質とは?

定義

関数 f:XXf : X \to Xにおいてf(x0)=x0f(x_{0}) = x_{0}を満たすx0x_{0}ff固定点fixed pointと言う。全ての連続関数ffが固定点を持つ場合、XX固定点性質fixed Point Propertyを持つと言う。

説明

主に完備空間と関係が深い。

少なくともR\mathbb{R}では、中間値の定理を利用すれば、f:[a,b][a,b]f : [a,b] \to [a,b]に対してf(c)=cf(c) = cを満たすccが必ず存在することを示すことができる。

定理

固定点性質は位相的性質である。

証明

位相同型写像h:XY h : X \to Yが存在しXXが固定点性質を持つとする。YYが固定点性質を持つことを示せば、証明は終わる。

f:YYf : Y \to Y連続関数として、g:XXg : X \to Xg(x)=(h1fh)(x)g(x) = (h^{-1} \circ f \circ h) (x)として定義すると、gg連続関数である。XXは固定点性質を持つので、ggの固定点x0x_{0}が存在するはずで、それをh(x0)=y0Yh(x_{0}) = y_{0} \in Yとする。すると f(y0)=f((h(x0))=hh1fh(x0)=h(g(x0))=h(x0)=y0 \begin{align*} f (y_{0}) =& f( ( h (x_{0} ) ) \\ =& h \circ h^{-1} \circ f \circ h (x_{0}) \\ =& h(g(x_{0})) \\ =& h (x_{0}) \\ =& y_{0} \end{align*} 、 であり、YYは固定点性質を持つ。