位相数学における固定点性質とは?
📂位相幾何学位相数学における固定点性質とは?
定義
関数 f:X→Xにおいてf(x0)=x0を満たすx0をfの固定点fixed pointと言う。全ての連続関数fが固定点を持つ場合、Xは固定点性質fixed Point Propertyを持つと言う。
説明
主に完備空間と関係が深い。
少なくともRでは、中間値の定理を利用すれば、f:[a,b]→[a,b]に対してf(c)=cを満たすcが必ず存在することを示すことができる。
定理
固定点性質は位相的性質である。
証明
位相同型写像h:X→Yが存在しXが固定点性質を持つとする。Yが固定点性質を持つことを示せば、証明は終わる。
f:Y→Yを連続関数として、g:X→Xをg(x)=(h−1∘f∘h)(x)として定義すると、gも連続関数である。Xは固定点性質を持つので、gの固定点x0が存在するはずで、それをh(x0)=y0∈Yとする。すると
f(y0)=====f((h(x0))h∘h−1∘f∘h(x0)h(g(x0))h(x0)y0、
であり、Yは固定点性質を持つ。
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