位相幾何学における不動点性質とは?
定義
関数 $f : X \to X$に対して$f(x_{0}) = x_{0}$を満たす$x_{0}$を$f$の不動点fixed pointという。すべての連続関数 $f$が不動点を持つならば、$X$が不動点性質fixed point Propertyを持つという。
説明
主に完備空間と関係が深い。
少なくとも$\mathbb{R}$では中間値の定理を用いれば、$f : [a,b] \to [a,b]$に対して$f(c) = c$を満たす$c$が常に存在することを示すことができる。
定理
不動点性質は位相的性質である。
証明
位相同型写像 $ h : X \to Y$が存在し、$X$が不動点性質を持つとしよう。$Y$が不動点性質を持つことを示せば証明は終わる。
$f : Y \to Y$を連続関数とし、$g : X \to X$を$g(x) = (h^{-1} \circ f \circ h) (x)$と定義すれば、$g$もまた連続関数である。$X$は不動点性質を持つので$g$の不動点$x_{0}$が存在し、$h(x_{0}) = y_{0} \in Y$とおこう。すると $$ \begin{align*} f (y_{0}) =& f( ( h (x_{0} ) ) \\ =& h \circ h^{-1} \circ f \circ h (x_{0}) \\ =& h(g(x_{0})) \\ =& h (x_{0}) \\ =& y_{0} \end{align*} $$ であり、$Y$は不動点性質を持つ。
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