📂複素解析

シュヴァルツ-クリストッフェル変換

定理 ¹

複素平面上にある$n$個の角を持つ折れ線を$\mathscr{P}$と呼び、その角を$w_{r}$、内角の大きさを$\psi_{r}$とする。すると$K, C, z_{0} \in \mathbb{C}$及び$x_{r} \in \mathbb{R}$に対して$f(x_{r}) = w_{r}$を満たす変換 $$ w = f(z) = K \int_{z_{0}}^{z} \prod_{r = 1}^{n} ( \zeta - x_{r})^{ \psi_{r} / \pi - 1 } d \zeta + C $$ は実軸を折れ線$\mathscr{P}$に対応させる。これをシュワルツ-クリストッフェル変換と呼ぶ。

説明

もし$z_{0} = 0$とするならば、これは$|z|=1$上の$z_{1} , \cdots , z_{n}$に対する写像として表される。証明は長くて面倒なので省略するが、大まかな感じだと$f '$は微積分学の基本定理により $$ f ' (z) = K \prod_{r=1}^{n} (z - x_{r})^{\psi_{r} / \pi - 1} $$ で、$f ' (x_{r}) = 0$、つまり臨界点が現れることが確認できる。

臨界点の幾何学的な意味を考えると、どのようにこのような形式の関数が発見されたのかを推測するのは難しくないだろう。折れ線と言えば明らかに多角形を含むため、その重要性は言うまでもないだろう。

$\mathscr{P}$が多角形である場合、$Z$平面の上側、つまり$\operatorname{Im} z > 0$を満たす点は$\mathscr{P}$の内部に対応することを覚えておいてほしい。驚くべきことに、$x_{n} = \infty$のようなケースでも特に問題はなく、$K = K ' ( - x_{n})^{- \alpha_{n}}$とすれば $$ f(z) = K ' \int_{z_{0}}^{z} \prod_{r = 1}^{n-1} ( \zeta - x_{r})^{ \psi_{r} / \pi - 1 } \left( 1 - {{ \zeta } \over { x_{n} }} \right)^{\psi_{n} / \pi - 1} d \zeta + C $$ であり、$\displaystyle \lim_{x_{n} \to \infty} \left( 1 - {{ \zeta } \over { x_{n} }} \right) = 1$なので、ただ存在しないと考えればいい。