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シュヴァルツ-クリストッフェル変換 📂複素解析

シュヴァルツ-クリストッフェル変換

定理 1

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複素平面上にあるnn個の角を持つ折れ線をP\mathscr{P}と呼び、その角をwrw_{r}、内角の大きさをψr\psi_{r}とする。するとK,C,z0CK, C, z_{0} \in \mathbb{C}及びxrRx_{r} \in \mathbb{R}に対してf(xr)=wrf(x_{r}) = w_{r}を満たす変換 w=f(z)=Kz0zr=1n(ζxr)ψr/π1dζ+C w = f(z) = K \int_{z_{0}}^{z} \prod_{r = 1}^{n} ( \zeta - x_{r})^{ \psi_{r} / \pi - 1 } d \zeta + C は実軸を折れ線P\mathscr{P}に対応させる。これをシュワルツ-クリストッフェル変換と呼ぶ。

説明

もしz0=0z_{0} = 0とするならば、これはz=1|z|=1上のz1,,znz_{1} , \cdots , z_{n}に対する写像として表される。証明は長くて面倒なので省略するが、大まかな感じだとff '微積分学の基本定理により f(z)=Kr=1n(zxr)ψr/π1 f ' (z) = K \prod_{r=1}^{n} (z - x_{r})^{\psi_{r} / \pi - 1} で、f(xr)=0f ' (x_{r}) = 0、つまり臨界点が現れることが確認できる。

臨界点の幾何学的な意味を考えると、どのようにこのような形式の関数が発見されたのかを推測するのは難しくないだろう。折れ線と言えば明らかに多角形を含むため、その重要性は言うまでもないだろう。

P\mathscr{P}が多角形である場合、ZZ平面の上側、つまりImz>0\operatorname{Im} z > 0を満たす点はP\mathscr{P}の内部に対応することを覚えておいてほしい。驚くべきことに、xn=x_{n} = \inftyのようなケースでも特に問題はなく、K=K(xn)αnK = K ' ( - x_{n})^{- \alpha_{n}}とすれば f(z)=Kz0zr=1n1(ζxr)ψr/π1(1ζxn)ψn/π1dζ+C f(z) = K ' \int_{z_{0}}^{z} \prod_{r = 1}^{n-1} ( \zeta - x_{r})^{ \psi_{r} / \pi - 1 } \left( 1 - {{ \zeta } \over { x_{n} }} \right)^{\psi_{n} / \pi - 1} d \zeta + C であり、limxn(1ζxn)=1\displaystyle \lim_{x_{n} \to \infty} \left( 1 - {{ \zeta } \over { x_{n} }} \right) = 1なので、ただ存在しないと考えればいい。


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p225. ↩︎