📂抽象代数

すべての巡回群が可換群であることを証明

定理 ¹

すべての巡回群はアーベル群である。

説明

巡回群が整数群と同型であることを示せば、特に証明しなくても自然と導かれる事実である。

証明

巡回群 $G := \left< a \right>$ に対して、$g_{1} = a^{r}$ そして $g_{2} = a^{s}$ とする。 $$ g_{1} g_{2} = a^{r} a^{s} = a^{r+s} = a^{s+r} = a^{s} a^{r} = g_{2} g_{1} $$ したがって、$G$ はアーベル群である。

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