📂幾何学

微分多様体の曲率

定義¹

$M$をリーマン多様体、$\frak{X}(M)$を$M$の上のすべてのベクトル場の集合としよう。

$$ \frak{X}(M) = \text{the set of all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M $$

$M$の曲率$R$は$X, Y \in \frak{X}(M)$を$R(X, Y) : \frak{X}(M) \to \frak{X}(M)$に対応させる関数だ。この時、$R(X, Y)$は以下のように与えられる。

$$ \begin{equation} R(X, Y) Z = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M) \end{equation} $$

このような$R$をリーマン曲率またはリーマン曲率テンソルという。

$\nabla$は$M$上のレヴィチビタ接続、$[ \cdot, \cdot]$はリー括弧だ。

説明

つまり、$R$は二つのベクトル場$X, Y$を$R(X, Y)$という関数に対応させ、さらに$R(X, Y)$はベクトル場$Z$を$(1)$のように対応させる関数だ。従って、実際には次のように表記しても問題はない。

$$ R : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \frak{X}(M) \\[1em] R(X,Y,Z) = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M) $$

しかし、$R(X,Y,Z)$の値からわかるように、これは$Z$にきれいにまとめられる。さらに$X, Y$は微分する変数として使われ、$Z$は微分される変数として使われるため、このような役割を区別するために、慣例的に$R(X, Y) Z$のように表記される。

また、定義$(1)$では教科書によって符号の違いがあるかもしれないが、本質的には同じである。

重複して使用される表記法

リーマン曲率テンソル$R$について、$R: \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$を次のように定義する。

$$ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle $$

これをリーマン曲率テンソルという。定義で紹介したのもリーマン曲率テンソル$R$であり、これもリーマン曲率テンソル$R$だ。このように重複して使う理由は、これらがメトリックを掛けた違いしかなく、事実上同じものであるためだ。

座標系表現

$T_{p}M$の基底を$\left\{ X_{i} \right\}$としよう。$R(X_{i},X_{j})X_{k}$は次のように表記される。

$$ R(X_{i},X_{j})X_{k} = \sum_{s}R_{ijk}^{s}X_{s} $$

$R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})$は次のように表記される。

$$ R_{ijkl} = R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) = g\left( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right) = \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl} $$

例：ユークリッド空間

$M = \mathbb{R}^{n}$としよう。ユークリッド空間は曲がっていない平らな空間だ。従って、$R(X,Y)Z = 0$が出ることを期待する。逆にこの結果が出なければ、定義$(1)$は価値ある意味を持たないと言える。$X, Z$を次のように設定しよう。

$$ X = (X^{1}, \dots, X^{n}) = \sum X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \text{ and } Z = (Z^{1}, \dots, Z^{n}) = \sum Z^{k}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

$\nabla_{X}Z$は次のようである。

$$ \nabla_{X}Z = \sum_{i,k} \left( X^{i}\dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Z^{j}\Gamma_{ij}^{k} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

この時、ユークリッド空間では$\Gamma_{ij}^{k} = 0$なので、次を得る。

$$ \begin{align*} \nabla_{X} Z &= \sum_{i,k} X^{i} \left( \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} \left( \sum_{i} X^{i} \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} X Z^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \left( XZ^{1}, \dots, XZ^{n} \right) \end{align*} $$

同様に次を得る。

$$ \nabla_{Y} \nabla_{X} Z = \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right) $$

従って、

$$ \begin{align*} R(X, Y) Z &= \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z \\ &= \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right) - \left( XYZ^{1}, \dots, XYZ^{n} \right) \\ &\quad + \left( (XY-YX)Z^{1}, \dots, (XY-YX)Z^{n} \right) \\ &= 0 \end{align*} $$

■

性質

(a) $R$は双線形である。すなわち、

$$ \begin{align*} R(f X_{1} + gX_{2}, Y_{1}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{2}, Y_{1}) \\[1em] R(X_{1}, fY_{1} + gY_{2}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{1}, Y_{2}) \end{align*} $$

ここで$f, g \in \mathcal{D}(M)$、$\quad X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} \in \frak{X}(M)$である。

(b) 任意の$X, Y \in \frak{X}(M)$に対して、$R(X, Y)$は線形である。すなわち、

$$ \begin{align*} R(X, Y) (Z + W) &= R(X, Y) Z + R(X, Y) W \\[1em] R(X, Y) fZ &= f R(X, Y) Z \end{align*} $$

ここで$f \in \mathcal{D}(M)$、$\quad Z, W \in \frak{X}(M)$である。

証明

(b)

最初の性質は接続の定義により自明である。従って、二行目のみを証明する。

$$ R(X, Y) fZ = \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]}fZ $$

まず最初の項を接続の定義により計算すると、

$$ \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X} Z + (Xf)Z) \\ &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X}Z) + \nabla_{Y}((Xf)Z) \\ &= f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z + (Yf)\nabla_{X}Z + (Xf)\nabla_{Y}(Z) + (Y(Xf))Z \end{align*} $$

同様に計算すると、

$$ \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) = f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z + (Xf)\nabla_{Y}Z + (Yf)\nabla_{X}(Z) + (X(Yf))Z $$

従って、次を得る。

$$ \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) - \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) &= {\color{blue}f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + YXfZ \\ &\quad - \left( {\color{blue}f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + XYfZ \right) \\ &= {\color{blue}f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z)} + YXfZ - XYfZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z \end{align*} $$

さらに、$\nabla_{[X,Y]} fZ = f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z$であるため、最後に計算すると次のようになる。

$$ \begin{align*} R(X, Y) fZ &= \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]} fZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z + f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) + f\nabla_{[X,Y]}Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X,Y]}Z) \\ &= fR(X, Y) Z \end{align*} $$

■