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微分多様体の曲率 📂幾何学

微分多様体の曲率

定義1

MMをリーマン多様体、X(M)\frak{X}(M)をMMの上のすべてのベクトル場の集合としよう。

X(M)=the set of all vector fileds of calss C∞ on M \frak{X}(M) = \text{the set of all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M

MMの曲率RRはX,Y∈X(M)X, Y \in \frak{X}(M)をR(X,Y):X(M)→X(M)R(X, Y) : \frak{X}(M) \to \frak{X}(M)に対応させる関数だ。この時、R(X,Y)R(X, Y)は以下のように与えられる。

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,Z∈X(M) \begin{equation} R(X, Y) Z = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M) \end{equation}

このようなRRをリーマン曲率またはリーマン曲率テンソルという。

∇\nablaはMM上のレヴィチビタ接続、[⋅,⋅][ \cdot, \cdot]はリー括弧だ。

説明

つまり、RRは二つのベクトル場X,YX, YをR(X,Y)R(X, Y)という関数に対応させ、さらにR(X,Y)R(X, Y)はベクトル場ZZを(1)(1)のように対応させる関数だ。従って、実際には次のように表記しても問題はない。

R:X(M)×X(M)×X(M)→X(M)R(X,Y,Z)=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,Z∈X(M) R : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \frak{X}(M) \\[1em] R(X,Y,Z) = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M)

しかし、R(X,Y,Z)R(X,Y,Z)の値からわかるように、これはZZにきれいにまとめられる。さらにX,YX, Yは微分する変数として使われ、ZZは微分される変数として使われるため、このような役割を区別するために、慣例的にR(X,Y)ZR(X, Y) Zのように表記される。

また、定義(1)(1)では教科書によって符号の違いがあるかもしれないが、本質的には同じである。

重複して使用される表記法

リーマン曲率テンソルRRについて、R:X(M)×X(M)×X(M)×X(M)→D(M)R: \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)を次のように定義する。

R(X,Y,Z,W):=g(R(X,Y)Z,W)=⟨R(X,Y)Z,W⟩ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle

これをリーマン曲率テンソルという。定義で紹介したのもリーマン曲率テンソルRRであり、これもリーマン曲率テンソルRRだ。このように重複して使う理由は、これらがメトリックを掛けた違いしかなく、事実上同じものであるためだ。

座標系表現

TpMT_{p}Mの基底を{Xi}\left\{ X_{i} \right\}としよう。R(Xi,Xj)XkR(X_{i},X_{j})X_{k}は次のように表記される。

R(Xi,Xj)Xk=∑sRijksXs R(X_{i},X_{j})X_{k} = \sum_{s}R_{ijk}^{s}X_{s}

R(Xi,Xj,Xk,Xl)R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})は次のように表記される。

Rijkl=R(Xi,Xj,Xk,Xl)=g(R(Xi,Xj)Xk,Xl)=∑sRijksgsl R_{ijkl} = R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) = g\left( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right) = \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl}

例：ユークリッド空間

M=RnM = \mathbb{R}^{n}としよう。ユークリッド空間は曲がっていない平らな空間だ。従って、R(X,Y)Z=0R(X,Y)Z = 0が出ることを期待する。逆にこの結果が出なければ、定義(1)(1)は価値ある意味を持たないと言える。X,ZX, Zを次のように設定しよう。

X=(X1,…,Xn)=∑Xi∂∂xi and Z=(Z1,…,Zn)=∑Zk∂∂xk X = (X^{1}, \dots, X^{n}) = \sum X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \text{ and } Z = (Z^{1}, \dots, Z^{n}) = \sum Z^{k}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

∇XZ\nabla_{X}Zは次のようである。

∇XZ=∑i,k(Xi∂Zk∂xi+∑jXiZjΓijk)∂∂xk \nabla_{X}Z = \sum_{i,k} \left( X^{i}\dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Z^{j}\Gamma_{ij}^{k} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

この時、ユークリッド空間ではΓijk=0\Gamma_{ij}^{k} = 0なので、次を得る。

∇XZ=∑i,kXi(∂Zk∂xi)∂∂xk=∑k(∑iXi∂Zk∂xi)∂∂xk=∑kXZk∂∂xk=(XZ1,…,XZn) \begin{align*} \nabla_{X} Z &= \sum_{i,k} X^{i} \left( \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} \left( \sum_{i} X^{i} \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} X Z^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \left( XZ^{1}, \dots, XZ^{n} \right) \end{align*}

同様に次を得る。

∇Y∇XZ=(YXZ1,…,YXZn) \nabla_{Y} \nabla_{X} Z = \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right)

従って、

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z=(YXZ1,…,YXZn)−(XYZ1,…,XYZn)+((XY−YX)Z1,…,(XY−YX)Zn)=0 \begin{align*} R(X, Y) Z &= \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z \\ &= \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right) - \left( XYZ^{1}, \dots, XYZ^{n} \right) \\ &\quad + \left( (XY-YX)Z^{1}, \dots, (XY-YX)Z^{n} \right) \\ &= 0 \end{align*}

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性質

(a) RRは双線形である。すなわち、

R(fX1+gX2,Y1)=fR(X1,Y1)+gR(X2,Y1)R(X1,fY1+gY2)=fR(X1,Y1)+gR(X1,Y2) \begin{align*} R(f X_{1} + gX_{2}, Y_{1}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{2}, Y_{1}) \\[1em] R(X_{1}, fY_{1} + gY_{2}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{1}, Y_{2}) \end{align*}

ここでf,g∈D(M)f, g \in \mathcal{D}(M)、X1,X2,Y1,Y2∈X(M)\quad X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} \in \frak{X}(M)である。

(b) 任意のX,Y∈X(M)X, Y \in \frak{X}(M)に対して、R(X,Y)R(X, Y)は線形である。すなわち、

R(X,Y)(Z+W)=R(X,Y)Z+R(X,Y)WR(X,Y)fZ=fR(X,Y)Z \begin{align*} R(X, Y) (Z + W) &= R(X, Y) Z + R(X, Y) W \\[1em] R(X, Y) fZ &= f R(X, Y) Z \end{align*}

ここでf∈D(M)f \in \mathcal{D}(M)、Z,W∈X(M)\quad Z, W \in \frak{X}(M)である。

証明

(b)

最初の性質は接続の定義により自明である。従って、二行目のみを証明する。

R(X,Y)fZ=∇Y∇XfZ−∇X∇YfZ+∇[X,Y]fZ R(X, Y) fZ = \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]}fZ

まず最初の項を接続の定義により計算すると、

∇Y∇X(fZ)=∇Y(f∇XZ+(Xf)Z)=∇Y(f∇XZ)+∇Y((Xf)Z)=f∇Y∇XZ+(Yf)∇XZ+(Xf)∇Y(Z)+(Y(Xf))Z \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X} Z + (Xf)Z) \\ &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X}Z) + \nabla_{Y}((Xf)Z) \\ &= f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z + (Yf)\nabla_{X}Z + (Xf)\nabla_{Y}(Z) + (Y(Xf))Z \end{align*}

同様に計算すると、

∇X∇Y(fZ)=f∇X∇YZ+(Xf)∇YZ+(Yf)∇X(Z)+(X(Yf))Z \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) = f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z + (Xf)\nabla_{Y}Z + (Yf)\nabla_{X}(Z) + (X(Yf))Z

従って、次を得る。

∇Y∇X(fZ)−∇X∇Y(fZ)=f∇Y∇XZ+(Yf)∇XZ+(Xf)∇YZ+YXfZ−(f∇X∇YZ+(Xf)∇YZ+(Yf)∇XZ+XYfZ)=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)+YXfZ−XYfZ=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)−([X,Y]f)Z \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) - \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) &= {\color{blue}f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + YXfZ \\ &\quad - \left( {\color{blue}f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + XYfZ \right) \\ &= {\color{blue}f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z)} + YXfZ - XYfZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z \end{align*}

さらに、∇[X,Y]fZ=f∇[X,Y]Z+([X,Y]f)Z\nabla_{[X,Y]} fZ = f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Zであるため、最後に計算すると次のようになる。

R(X,Y)fZ=∇Y∇XfZ−∇X∇YfZ+∇[X,Y]fZ=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)−([X,Y]f)Z+f∇[X,Y]Z+([X,Y]f)Z=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)+f∇[X,Y]Z=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z)=fR(X,Y)Z \begin{align*} R(X, Y) fZ &= \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]} fZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z + f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) + f\nabla_{[X,Y]}Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X,Y]}Z) \\ &= fR(X, Y) Z \end{align*}

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  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p89-90 ↩︎