📂幾何学

微分可能多様体上の接空間バンドル

定義¹

$M$を$n$次元の微分多様体とする。点$p \in M$での接空間を$T_{p}M$とする。$M$の接束^{tangent bundle, 接バンドル} $TM$を次のように定義する。

$$ \begin{align*} TM &:= \bigsqcup \limits_{p \in M } T_{p}M \\ &= \bigcup_{p \in M} \left\{ p \right\} \times T_{p}M \\ &= \left\{ (p, v) : p \in M, v \in T_{p}M \right\} \end{align*} $$

このとき、$\bigsqcup$は分離合併である。

説明

定義によれば、接束は微分多様体$M$上のすべての点と、その点でのすべての接ベクトルの順序対の集合である。分離合併のドキュメントを見れば分かるが、$(p,v)$と$v$の間の自然なマッピングを考えることができ、実質的に同じものとして扱うため、$\bigsqcup$の代わりに$\bigcup$と表示することもある。

$$ TM := \bigcup_{p \in M} T_{p}M $$

$M$が$n$次元の微分多様体であれば、$TM$自体も再び$2n$次元の微分多様体となる。