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微分可能多様体上の接空間バンドル 📂幾何学

微分可能多様体上の接空間バンドル

定義1

MMnn次元の微分多様体とする。点pMp \in Mでの接空間TpMT_{p}Mとする。MM接束tangent bundle, 接バンドル TMTMを次のように定義する。

TM:=pMTpM=pM{p}×TpM={(p,v):pM,vTpM} \begin{align*} TM &:= \bigsqcup \limits_{p \in M } T_{p}M \\ &= \bigcup_{p \in M} \left\{ p \right\} \times T_{p}M \\ &= \left\{ (p, v) : p \in M, v \in T_{p}M \right\} \end{align*}

このとき、\bigsqcup分離合併である。

説明

定義によれば、接束は微分多様体MM上のすべての点と、その点でのすべての接ベクトルの順序対の集合である。分離合併のドキュメントを見れば分かるが、(p,v)(p,v)vvの間の自然なマッピングを考えることができ、実質的に同じものとして扱うため、\bigsqcupの代わりに\bigcupと表示することもある。

TM:=pMTpM TM := \bigcup_{p \in M} T_{p}M

MMnn次元の微分多様体であれば、TMTM自体も再び2n2n次元の微分多様体となる。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p15-16 ↩︎