📂幾何学

ガウス曲率と平均曲率

定義¹

曲面 $M$ 上の点 $p$ における主曲率を $\kappa_{1}, \kappa_{2}$ としよう。$L$ を ワインガルテンマップ と称する。ガウス曲率^{Gaussian curvature} $K$ を次のように定義する。

$$K := \kappa_{1} \kappa_{2} = \det L = \det ([{L^{i}}_{j}])$$

この時、${L^{i}}_{j} = \sum \limits_{k} L_{kj}g^{ki}$ が成り立つ。

公式

• 主曲率の積

$$K = \kappa_{1} \kappa_{2}$$

• ガウス曲率はリーマン曲率テンソルで表せる。

$$

$$

• ガウス曲率はクリストッフェル記号で表せる。

$$K =$$

• 点 $p$ におけるガウス曲率はガウスマップと領域の面積で示される。

$$K = \lim\limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})}$$

定理

1. $H^{2} \ge K$ が成立する。

2. $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$ を点 $p$ における正規直交ベクトルとする。すると、次が成り立つ。

$$H = \dfrac{1}{2}\left( II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) + II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) \right)$$

3. $\mathbf{Y} \in T_{p}M$ を単位接ベクトル、$\kappa_{n}$ を法曲率とし、$\theta$ を主方向 $\mathbf{X}_{1}$ と $\mathbf{Y}$ の間の角度とする。すると、次が成り立つ。

$$H = \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\kappa_{n}d\theta$$

証明

3.

$\kappa_{n} = II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y})$ かつ、$II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \kappa_{1}\cos^{2}\theta + \kappa_{2}\sin^{2}\theta$ ので、

$$\begin{align*} \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\kappa_{n}d\theta &= \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \kappa_{1}\cos^{2}\theta + \kappa_{2}\sin^{2}\theta d\theta \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \kappa_{1} \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} d\theta + \kappa_{2} \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta d\theta \right) \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \kappa_{1} \pi + \kappa_{2} \pi \right) \\ &= \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} \\ &= H \end{align*}$$

(三角関数の積分表 $(2), (3)$ 参照)

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