📂電磁気学

ポテンシャルの多重極展開と双極子モーメント

多重展開¹

離れた場所から見た時、集まった電荷分布は点電荷のように見えるだろう。つまり、電荷分布の総電荷が$Q$だとしたら、非常に遠い場所から見ると、電荷量が$Q$の点電荷が一つあるかのように感じるだろう。これは、電圧を$\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{r}$と見積もっても大体合ってるということになる。

しかし、総電荷が$0$の場合、電圧を$0$で近似するのが正しいかという疑問が生じる。多重展開は、総電荷が$0$の場合に、どのようにして電圧を近似式で表現するかという解答だ。電圧$V(\mathbf{r})$を$\dfrac{1}{r^{n}}$に関する級数で表現することを多重展開という。

位置$\mathbf{r}$における電圧は以下の通り。

$$ \begin{equation} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{1}{\cR}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} \label{1} \end{equation} $$

ここで$\bcR = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} (\cR = \left| \bcR \right|)$は分離ベクトルだ。

$\cR$の大きさを求めるために二つのコサイン法則を用いると、

$$ \begin{align*} \cR ^2 =&\ r^2+(r^{\prime})^2-2rr^{\prime}\cos\alpha \\ =&\ r^2\left[1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2-2\dfrac{r^{\prime}}{r}\cos\alpha\right] \\ =&\ r^2\left[1+\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha\right)\right] \end{align*} $$

便宜上、角かっこ内の第二項を全体として$\epsilon=\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)$と置換する。それから次が成り立つ。

$$ \cR=r\sqrt{1+\epsilon} \implies \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2} $$

この時、$\mathbf{r}$が電荷分布から非常に遠い場所であれば、$\dfrac{r^{\prime}}{r}$は非常に小さくなり、$\epsilon \ll 1$が成り立つ。

二項級数

$|x| < 1$ならば、

$$ (1 + x )^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \cdots $$

従って、$(1+\epsilon)^{-1/2}$を二項級数で解くことができる。

$$ \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2} = \dfrac{1}{r}\left( 1- \dfrac{1}{2}\epsilon+\dfrac{3}{8}\epsilon ^2 -\dfrac{5}{16}\epsilon ^3 +\cdots \right) $$

$\epsilon$を元に戻して書くと、

$$ \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\left[ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) ^3 +\cdots \right] $$

これを$\dfrac{r^{\prime}}{r}$の各次数に合わせて整理すると、以下のようになる。詳細なプロセスは付録を参照してほしい。

$$ \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\left[ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\left( \cos\alpha \right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) +\cdots \right] $$

ここで、各かっこ内は級数$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^n$形で表現できる。この時、それぞれの係数$a_{n}$は以下の通り。

$$ \begin{align*} a_{0} =&\ 1 \\ a_{1} =&\ \cos\alpha \\ a_{2} =&\ \dfrac{3\cos^2\alpha-1}{2} \\ a_{3} =&\ \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) \\ \vdots & \end{align*} $$

これは$\cos\alpha$に関するルジャンドル多項式$P_{n}(\cos \alpha)$と同じだ。従って、整理すると、

$$ \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^n P_{n}(\cos\alpha) $$

これを電圧公式$\eqref{1}$に代入し、積分と無関係な$r$を外に出すと、次を得る。

$$ V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{r^{n+1}} \int (r^{\prime})^nP_{n}(\cos\alpha) \rho (\mathbf{r}^{\prime}) d\tau^{\prime} $$

この級数を再展開すると、

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \bigg[ &\dfrac{1}{r} \int r^{\prime}\cos\alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} \\ &+ \dfrac{1}{r^2}\int r^{\prime}\cos\alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} + \dfrac{1}{r^3}\int(r^{\prime})^2\dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} + \cdots \bigg] \end{align*} $$

第一項は単極によって生じる電圧、第二項は双極子による電圧、第三項は四極子による電圧だ。$n$項はそれぞれ$2^{n-1}$極子項と関連している。

双極子項と双極子モーメント

多重展開式は$r$の逆数に関する級数なので、通常$r$が大きいときは単極項が最も大きくなる。monoは単極^{monopole, モノポール}の略だ。

$$ V_{\text{mono}}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q}{r} $$

もし集まった電荷の総電荷が$0$ならば、単極項は$0$だ。それ以外の場合は、$+$と$-$が$0$になるように組み合わせることができるが、単極項は一つしかできないので、それは不可能だ。従って、この時双極子項が$0$でなければ、双極子項が最も大きくなる。dipは双極子^{dipole, ダイポール}の略だ。

$$ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{1}{r^2}\int r^{\prime} \cos \alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} $$

ここで、$\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}^{\prime}=r^{\prime}\cos\alpha$であるので、

$$ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\cdot\int \mathbf{r}^{\prime} \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} $$

この積分値は$\mathbf{r}$と無関係で、特に電荷分布の双極子モーメント^{dipole moment}と呼ばれ、$\mathbf{p}$と表される。

$$ \mathbf{p}=\int\mathbf{r}^{\prime}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} $$

双極子モーメントを使って双極子の電圧を簡潔に表すことができる。

$$ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}} } {r^2} $$

付録

$$ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^{2} \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)^3 +\cdots $$

上の式の二乗項、三乗項を展開すると、

$$ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left[ \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2-\dfrac{4r^{\prime}\cos\alpha}{r}+4\cos^2\alpha \right] $$

$$ -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left[ \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 -3\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^22\cos\alpha + 3\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)4\cos^2\alpha-8\cos^3\alpha \right] +\cdots $$

これで、$\dfrac{r^{\prime}}{r}$の次数に合わせて整理すると、

$$ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\cos\alpha +\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2\left(-\dfrac{1}{2} +\dfrac{3}{2}\cos^2\alpha \right)+\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^3 \left( -\dfrac{3}{2}\cos\alpha +\dfrac{5}{2}\cos^3\alpha \right) + \cdots $$

これを整理すると、

$$ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\left( \cos\alpha \right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) +\cdots $$