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ポテンシャルの多重極展開と双極子モーメント 📂電磁気学

ポテンシャルの多重極展開と双極子モーメント

多重展開1

離れた場所から見た時、集まった電荷分布は点電荷のように見えるだろう。つまり、電荷分布の総電荷がQQだとしたら、非常に遠い場所から見ると、電荷量がQQの点電荷が一つあるかのように感じるだろう。これは、電圧を14πϵ0Qr\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{r}と見積もっても大体合ってるということになる。

しかし、総電荷が00の場合、電圧を00で近似するのが正しいかという疑問が生じる。多重展開は、総電荷が00の場合に、どのようにして電圧を近似式で表現するかという解答だ。電圧V(r)V(\mathbf{r})を1rn\dfrac{1}{r^{n}}に関する級数で表現することを多重展開という。

位置r\mathbf{r}における電圧は以下の通り。

V(r)=14πϵ0∫1ρ(r′)dτ′ \begin{equation} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{1}{\cR}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} \label{1} \end{equation}

ここで=r−r′(=∣∣)\bcR = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} (\cR = \left| \bcR \right|)は分離ベクトルだ。

25.JPG

\cRの大きさを求めるために二つのコサイン法則を用いると、

2= r2+(r′)2−2rr′cos⁡α= r2[1+(r′r)2−2r′rcos⁡α]= r2[1+r′r(r′r−2cos⁡α)] \begin{align*} \cR ^2 =&\ r^2+(r^{\prime})^2-2rr^{\prime}\cos\alpha \\ =&\ r^2\left[1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2-2\dfrac{r^{\prime}}{r}\cos\alpha\right] \\ =&\ r^2\left[1+\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha\right)\right] \end{align*}

便宜上、角かっこ内の第二項を全体としてϵ=r′r(r′r−2cos⁡α)\epsilon=\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)と置換する。それから次が成り立つ。

=r1+ϵ  ⟹  1=1r(1+ϵ)−1/2 \cR=r\sqrt{1+\epsilon} \implies \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2}

この時、r\mathbf{r}が電荷分布から非常に遠い場所であれば、r′r\dfrac{r^{\prime}}{r}は非常に小さくなり、ϵ≪1\epsilon \ll 1が成り立つ。

二項級数

∣x∣<1|x| < 1ならば、

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+⋯ (1 + x )^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \cdots

従って、(1+ϵ)−1/2(1+\epsilon)^{-1/2}を二項級数で解くことができる。

1=1r(1+ϵ)−1/2=1r(1−12ϵ+38ϵ2−516ϵ3+⋯ ) \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2} = \dfrac{1}{r}\left( 1- \dfrac{1}{2}\epsilon+\dfrac{3}{8}\epsilon ^2 -\dfrac{5}{16}\epsilon ^3 +\cdots \right)

ϵ\epsilonを元に戻して書くと、

1=1r[1−12r′r(r′r−2cos⁡α)+38(r′r)2(r′r−2cos⁡α)2−516(r′r)3(r′r−2cos⁡α)3+⋯ ] \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\left[ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) ^3 +\cdots \right]

これをr′r\dfrac{r^{\prime}}{r}の各次数に合わせて整理すると、以下のようになる。詳細なプロセスは付録を参照してほしい。

1=1r[1+(r′r)(cos⁡α)+(r′r)2(3cos⁡2α−12)+(r′r)3(5cos⁡2α−3cos⁡α2)+⋯ ] \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\left[ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\left( \cos\alpha \right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) +\cdots \right]

ここで、各かっこ内は級数∑n=0∞an(r′r)n\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^n形で表現できる。この時、それぞれの係数ana_{n}は以下の通り。

a0= 1a1= cos⁡αa2= 3cos⁡2α−12a3= (5cos⁡2α−3cos⁡α2)⋮ \begin{align*} a_{0} =&\ 1 \\ a_{1} =&\ \cos\alpha \\ a_{2} =&\ \dfrac{3\cos^2\alpha-1}{2} \\ a_{3} =&\ \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) \\ \vdots & \end{align*}

これはcos⁡α\cos\alphaに関するルジャンドル多項式Pn(cos⁡α)P_{n}(\cos \alpha)と同じだ。従って、整理すると、

1=1r∑n=0∞(r′r)nPn(cos⁡α) \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^n P_{n}(\cos\alpha)

これを電圧公式(1)\eqref{1}に代入し、積分と無関係なrrを外に出すと、次を得る。

V(r)=14πϵ0∑n=0∞1rn+1∫(r′)nPn(cos⁡α)ρ(r′)dτ′ V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{r^{n+1}} \int (r^{\prime})^nP_{n}(\cos\alpha) \rho (\mathbf{r}^{\prime}) d\tau^{\prime}

この級数を再展開すると、

V(r)=14πϵ0[1r∫r′cos⁡αρ(r′)dτ′+1r2∫r′cos⁡αρ(r′)dτ′+1r3∫(r′)23cos⁡2α−12ρ(r′)dτ′+⋯] \begin{align*} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \bigg[ &\dfrac{1}{r} \int r^{\prime}\cos\alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} \\ &+ \dfrac{1}{r^2}\int r^{\prime}\cos\alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} + \dfrac{1}{r^3}\int(r^{\prime})^2\dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} + \cdots \bigg] \end{align*}

第一項は単極によって生じる電圧、第二項は双極子による電圧、第三項は四極子による電圧だ。nn項はそれぞれ2n−12^{n-1}極子項と関連している。

双極子項と双極子モーメント

多重展開式はrrの逆数に関する級数なので、通常rrが大きいときは単極項が最も大きくなる。monoは単極monopole, モノポールの略だ。

Vmono(r)=14πϵ0Qr V_{\text{mono}}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q}{r}

もし集まった電荷の総電荷が00ならば、単極項は00だ。それ以外の場合は、++と−-が00になるように組み合わせることができるが、単極項は一つしかできないので、それは不可能だ。従って、この時双極子項が00でなければ、双極子項が最も大きくなる。dipは双極子dipole, ダイポールの略だ。

Vdip(r)=14πϵ01r2∫r′cos⁡αρ(r′)dτ′ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{1}{r^2}\int r^{\prime} \cos \alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime}

ここで、r^⋅r′=r′cos⁡α\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}^{\prime}=r^{\prime}\cos\alphaであるので、

Vdip(r)=14πϵ01r2r^⋅∫r′ρ(r′)dτ′ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\cdot\int \mathbf{r}^{\prime} \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime}

この積分値はr\mathbf{r}と無関係で、特に電荷分布の双極子モーメントdipole momentと呼ばれ、p\mathbf{p}と表される。

p=∫r′ρ(r′)dτ′ \mathbf{p}=\int\mathbf{r}^{\prime}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime}

双極子モーメントを使って双極子の電圧を簡潔に表すことができる。

Vdip(r)=14πϵ0p⋅r^r2 V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}} } {r^2}

付録

1−12r′r(r′r−2cos⁡α)+38(r′r)2(r′r−2cos⁡α)2−516(r′r)3(r′r−2cos⁡α)3+⋯ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^{2} \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)^3 +\cdots

上の式の二乗項、三乗項を展開すると、

1−12r′r(r′r−2cos⁡α)+38(r′r)2[(r′r)2−4r′cos⁡αr+4cos⁡2α] 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left[ \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2-\dfrac{4r^{\prime}\cos\alpha}{r}+4\cos^2\alpha \right]

−516(r′r)3[(r′r)3−3(r′r)22cos⁡α+3(r′r)4cos⁡2α−8cos⁡3α]+⋯ -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left[ \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 -3\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^22\cos\alpha + 3\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)4\cos^2\alpha-8\cos^3\alpha \right] +\cdots

これで、r′r\dfrac{r^{\prime}}{r}の次数に合わせて整理すると、

1+(r′r)cos⁡α+(r′r)2(−12+32cos⁡2α)+(r′r)3(−32cos⁡α+52cos⁡3α)+⋯ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\cos\alpha +\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2\left(-\dfrac{1}{2} +\dfrac{3}{2}\cos^2\alpha \right)+\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^3 \left( -\dfrac{3}{2}\cos\alpha +\dfrac{5}{2}\cos^3\alpha \right) + \cdots

これを整理すると、

1+(r′r)(cos⁡α)+(r′r)2(3cos⁡2α−12)+(r′r)3(5cos⁡2α−3cos⁡α2)+⋯ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\left( \cos\alpha \right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) +\cdots

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p161-167 ↩︎