📂偏微分方程式

楕円形の偏微分方程式

定義^{1 2}

下記の2次線形偏微分方程式について考えよう $u(x,y)$．

$$ Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_{x} + Eu_{y} + Fu + G = 0\qquad (ABC \ne 0) \tag{1} $$

ここで、係数$A, \dots, G$は$(x,y)$の関数である。$\Delta = B^{2} - 4AC$を判別式と呼ぶ。判別式が負の偏微分方程式$(1)$を楕円形偏微分方程式と呼ぶ．

$$ (1) \text{ is called elliptic, if } \Delta (x,y) \lt 0. $$

説明

実際、楕円形偏微分方程式と言う場合はほとんどなく、通常[楕円形PDE]と直接呼ばれる。名前の由来はもちろん楕円である。

二次曲線$Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$が$B^{2} - 4AC \lt 0$を満たすならば、それは楕円である。

狭義ではポアソン方程式を指す。

$$ \Delta u = -f \qquad (\Delta = 0^{2} - 4(1)(1) = -4) $$