音波の散乱問題

解説¹

散乱理論の正規問題は、$u = u^{i} + u^{s}$のような状況で全体場^{total field}が与えられた時、入射場^{incident field}$u^{i}$を知っている場合に散乱場^{scattered field}$u^{s}$を求めることである。音波の場合、入射場は以下のような時間-調和平面波として与えられると仮定される。

$$ u^{i} (x,t) = e^{i(k x\cdot d - \omega t)},\quad x\in \mathbb{R}^{3} $$

ここで、$k = \dfrac{\omega}{c_{0}}$は波数、$\omega$は振動数、$c_{0}$は音波の速度、$d \in \mathbb{R}^{3}$は音波の進行方向を意味するベクトルである。また、問題を簡単にするために、波動方程式ではなく、時間項が消えたヘルムホルツ方程式を扱うことにしよう。

$$ \Delta u (x) + k^{2}u (x) = 0 $$

以下の問題は、散乱理論における物理的に現実に合う問題の中で最も単純な例である。それにも関わらず（特に数値的な部分で）未解決の部分があり、現在も研究中のテーマである。²

障害物がない場合

非均一媒質^{inhomogeneous medium}に対する最も簡単な問題は、次を満たすトータルフィールド$u$を見つけることである。

$$ \begin{align} \Delta u + k^{2} n(x) u = 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^{3} \\[1em] u(x) = e^{i k x \cdot d} + u^{s}(x) \\[1em] \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{\partial u^{s}}{\partial r} - ik u^{s} \right) = 0 \end{align} $$

この時、$r = \left| x \right|$であり、$n(x) = c_{0}^{2}(x) / c^{2}$は屈折率^{refractive index}、$c$は空気中の音波の速度である。$(3)$はゾンマーフェルト放射条件といい、解が物理的に意味を持つために満たすべき条件である。

$n$は、空気が$\dfrac{c}{c}=1$であり、媒質は有限であると仮定するのが自然である。したがって、$1-n(x)$は空気中では$0$であり、媒質内では正の値を取る。したがって、$1-n$はコンパクトサポートを持つ。

障害物がある場合

貫通できない障害物^{impenetrable obstacle}$D$による散乱が起きる場合、最も単純な問題は、次を満たすトータルフィールド$u$を見つけることである。

$$ \begin{align} \Delta u + k^{2}u = 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^{3} \setminus \overline{D} \\[1em] u(x) = e^{i k x \cdot d} + u^{s}(x) \\[1em] u = 0 \quad \text{on } \partial D \\[1em] \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{\partial u^{s}}{\partial r} - ik u^{s} \right) = 0 \end{align} $$

$(6)$はsound-soft障害物に対するディリクレ境界条件である。sound-hard障害物については、ノイマン境界条件やロビン境界条件を考慮することができる。

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu_{}} = 0 \quad \text{on } \partial D $$

$$ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} + i k \lambda u = 0 \quad \text{on } \partial D, \quad \lambda \gt 0 $$