イェンセンの不等式の積分形の証明
定理
凸関数$ \phi : [a,b] \to \mathbb{R}$と$f: [0,1] \to [a,b]$に対して、$\phi \circ f$が$[0,1]$で積分可能ならば $$ \phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) \le \int_{0}^{1} (\phi \circ f ) (x) dx $$
説明
当然だが、与えられた条件さえ満たせば置換などを通じて積分区間もまた変えることができる。有限形が定義を用いて項の個数を一般化したものであるのとは異なり、積分形は関数が積分記号を出入りする不等式になる。
証明
積分の平均値の定理により、ある定数$c$に対して$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = c \in (a,b)$とおくことができる。$c$の定義に従って $$ \phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) = \phi (c) + s \left( \int_{0}^{1} f(x) dx - c \right) $$ 上記の等式はすべての$s \in \mathbb{R}$に対して成り立つので $$\displaystyle s = \sup_{x \in [a,c) } {{\phi (c) - \phi (x)} \over {c -x}}$$ と定義しても構わない。$[c, y] \subset [a,b]$を満たす$y$に対して$\displaystyle {{f(x) - f(c)} \over {x - c}} \le {{f(y) - f(x) } \over {y - x}}$なので $$s \le {{\phi (y) - \phi (c)} \over {y- c}} $$ である。上記で得た式を再び整理すると $$ \phi (c) + s (y - c) \le \phi (y) $$ である。一方、$[y, c] \subset [a,b]$の場合は $$ s \ge {{\phi (c) - \phi (y)} \over {c - y}} $$ すなわちすべての$y \in [a,b]$に対して$\phi (c) + s (y - c) \le \phi (y)$が成り立ち、$[a,b]$は$f$の値域なので、$y = f(x)$とおくことができ、次を得る。 $$ \phi (c) + s ( f(x) - c) \le \phi ( f(x) ) $$ 両辺に$\displaystyle \int_{0}^{1}$を取ると $$ \int_{0}^{1} \left\{ \phi (c) + s ( f(x) - c) \right\} dx \le \int_{0}^{1} (\phi (f (x) ) dx $$ であり、整理すると $$ \phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) + s \int_{0}^{1} f(x) dx - s c \le \int_{0}^{1} (\phi \circ f) (x) dx $$ 最後に$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = c$であったので$\displaystyle s \int_{0}^{1} f(x) dx - s c = 0$であり、我々が求めていた次の不等式を得る。 $$ \phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) \le \int_{0}^{1} (\phi \circ f) (x) dx $$
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