ガウス曲率による回転面の分類
説明
$r> 0$を単位速度曲線としよう。そして、$\boldsymbol{\alpha}$から得られる回転面を$M$とする。
$$ M = \left\{ \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) : 0 \le \theta \le 2\pi, s \in (s_{0}, s_{1}) \right\} $$
$M$の座標片写像$\mathbf{x}$は次のようである。
$$ \mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) $$
$\boldsymbol{\alpha}$が単位速度曲線であるので、$\boldsymbol{\alpha}^{\prime} = (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1$となる。したがって、$z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$である。他の基本的な性質には以下のようなものがある。
- 第一基本形式：
$$ \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix} $$
- 第二基本形式：
$$ \begin{bmatrix} L_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime} & 0 \\ 0 & rz^{\prime} \end{bmatrix} $$
- ガウス曲率：
$\boldsymbol{\alpha}$が単位速度曲線であるので、以下の条件を得る。
$$ (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1 \implies 2r^{\prime}r^{\prime \prime} + 2z^{\prime}z^{\prime \prime} = 0 \implies z^{\prime}z^{\prime \prime} = - r^{\prime}r^{\prime \prime} $$
したがって、ガウス曲率は、
$$ \begin{align*} K = \dfrac{(r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime})}{((r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2})^{2}} \dfrac{z^{\prime}}{r} &= \dfrac{r^{\prime}z^{\prime}z^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(z^{\prime})^{2}}{r} \\ &= \dfrac{-(r^{\prime})^{2}r^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(1-(r^{\prime})^{2})}{r} \\ &= \dfrac{-r^{\prime \prime}}{r} \\ \end{align*} $$
回転面はガウス曲率の符号によって分類される。$a > 0$において、
- $K= a^{2}$の場合
- $K= 0$の場合
- $K= -a^{2}$の場合