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ガウス曲率による回転面の分類 📂幾何学

ガウス曲率による回転面の分類

説明

r>0r> 0を単位速度曲線としよう。そして、α\boldsymbol{\alpha}から得られる回転面をMMとする。

M={(r(s)cos⁡θ,r(s)sin⁡θ,z(s)):0≤θ≤2π,s∈(s0,s1)} M = \left\{ \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) : 0 \le \theta \le 2\pi, s \in (s_{0}, s_{1}) \right\}

MMの座標片写像x\mathbf{x}は次のようである。

x(s,θ)=(r(s)cos⁡θ,r(s)sin⁡θ,z(s)) \mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right)

α\boldsymbol{\alpha}が単位速度曲線であるので、α′=(r′)2+(z′)2=1\boldsymbol{\alpha}^{\prime} = (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1となる。したがって、z′=±1−(r′)2z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}である。他の基本的な性質には以下のようなものがある。

  • 第一基本形式：

[gij]=[100r2] \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix}

  • 第二基本形式：

[Lij]=[r′z′′−z′r′′00rz′] \begin{bmatrix} L_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime} & 0 \\ 0 & rz^{\prime} \end{bmatrix}

  • ガウス曲率：

α\boldsymbol{\alpha}が単位速度曲線であるので、以下の条件を得る。

(r′)2+(z′)2=1  ⟹  2r′r′′+2z′z′′=0  ⟹  z′z′′=−r′r′′ (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1 \implies 2r^{\prime}r^{\prime \prime} + 2z^{\prime}z^{\prime \prime} = 0 \implies z^{\prime}z^{\prime \prime} = - r^{\prime}r^{\prime \prime}

したがって、ガウス曲率は、

K=(r′z′′−z′r′′)((r′)2+(z′)2)2z′r=r′z′z′′−r′′(z′)2r=−(r′)2r′′−r′′(1−(r′)2)r=−r′′r \begin{align*} K = \dfrac{(r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime})}{((r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2})^{2}} \dfrac{z^{\prime}}{r} &= \dfrac{r^{\prime}z^{\prime}z^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(z^{\prime})^{2}}{r} \\ &= \dfrac{-(r^{\prime})^{2}r^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(1-(r^{\prime})^{2})}{r} \\ &= \dfrac{-r^{\prime \prime}}{r} \\ \end{align*}

回転面はガウス曲率の符号によって分類される。a>0a > 0において、

  • K=a2K= a^{2}の場合
  • K=0K= 0の場合
  • K=−a2K= -a^{2}の場合