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複数の点を使用した有限差分の導出 📂数値解析

複数の点を使用した有限差分の導出

定理

$N$番の微分可能な関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が与えられているとする。ある点 $t \in \mathbb{R}$ での $d < N$回目の微分の関数値 $f^{(d)} \left( t \right)$ は、十分に小さい $h > 0$ に対して、基数が$n \in \mathbb{N}$ の有限集合 $S \subset \mathbb{Z}$ と同じ数の点 $\left\{ t + k h : k \in S \right\}$ を使って、以下のように近似できる。 $$ f^{(d)} \left( t \right) \approx \sum_{k \in S} c_{k} f \left( t + kh \right) $$ ここで、$\left\{ c_{k_{1}} , \cdots , c_{k_{n}} \right\}$ は次のように求められる。 $$ \begin{bmatrix} c_{k_{1}} \\ \vdots \\ c_{k_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1}^{0} & \cdots & k_{n}^{0} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{1}^{N-1} & \cdots & k_{n}^{N-1} \end{bmatrix}^{-1} {{ d! } \over { h^{d} }} \begin{bmatrix} \delta_{0,d} \\ \vdots \\ \delta_{N-1,d} \end{bmatrix} $$ ここで、点 $\left\{ t + k h : k \in S \right\}$ を ステンシルポイントと呼ぶこともある。

説明

$$ f ' (t) \approx {{ f(t+h) - f(t) } \over { h }} $$ 離散化されたデータしかなく、実際の関数がないか、あるいは微分が困難な場合は、上記のように平均変化率を参照するしかない。しかし、密接に連結した二点の情報を使用するのではなく、次のように左右の二点を使用することもできる。 $$ f ' (t) \approx {{ f(t+h) - f(t-h) } \over { 2h }} $$ 一般的に、より多くの点を使用すると精度が上がり、データが悪ければ悪いほど、このような計算に依存する状況が生じるかもしれない。

証明 1

戦略：元の文書と同様に、例のように簡単に示されているだけである。テイラーの定理を通じて連立方程式を立てると終わりだ。

例えば、$f^{(4)} (t)$ を計算するために、次のように5つの点を使用すると考えてみよう。私たちの目標は、次のようにうまく近似する$\left\{ c_{-2} , \cdots , c_{2} \right\}$ を見つけることである。 $$ f^{(4)} (t) \approx c_{-2} f (t - 2h) + c_{-1} f (t - 1h) + c_{0} f (t) + c_{1} f (t + h) + c_{k_{2}} f (t + 2h) $$ ここで、各$f (t + kh)$は、テイラーの定理に従って次のように展開される。 $$ \begin{align*} & f^{(4)} (t) \\ =& c_{-2} \left[ f(t) + f ' (t) (-2h) + {{ f '' (t) } \over { 2 }} (-2h)^{2} + {{ f^{(3)} (t) } \over { 6 }} (-2h)^{3} + {{ f^{(4)} (t) } \over { 24 }} (-2h)^{4} \right] \\ & + c_{-1} \left[ f(t) + f ' (t) (-h) + {{ f '' (t) } \over { 2 }} (-h)^{2} + {{ f^{(3)} (t) } \over { 6 }} (-h)^{3} + {{ f^{(4)} (t) } \over { 24 }} (-h)^{4} \right] \\ & + c_{0} f (t) \\ & + c_{1} \left[ f(t) + f ' (t) h + {{ f '' (t) } \over { 2 }} h^{2} + {{ f^{(3)} (t) } \over { 6 }} h^{3} + {{ f^{(4)} (t) } \over { 24 }} h^{4} \right] \\ & + c_{2} \left[ f(t) + f ' (t) (2h) + {{ f '' (t) } \over { 2 }} (2h)^{2} + {{ f^{(3)} (t) } \over { 6 }} (2h)^{3} + {{ f^{(4)} (t) } \over { 24 }} (2h)^{4} \right] \\ & + O \left( h^{5} \right) \\ =& \left[ c_{-2} + c_{-1} + c_{0} + c_{1} + c_{2} \right] f(t) \\ & + \left[ -2 c_{-2} - c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 2 c_{2} \right] h f ' (t) \\ & + \left[ 4 c_{-2} + c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 4 c_{2} \right] {{ h^{2} } \over { 2 }} f '' (t) \\ & + \left[ -8 c_{-2} - c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 8 c_{2} \right] {{ h^{3} } \over { 6 }} f^{(3)} (t) \\ & + \left[ 16 c_{-2} + c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 16 c_{2} \right] {{ h^{4} } \over { 24 }} f^{(4)} (t) \\ & + O \left( h^{5} \right) \end{align*} $$ いつものように、$O \left( h^{5} \right)$は十分に小さくして捨てる。そして$f(t)$、$f’(t)$、$f^{''} (t)$、$f^{(3)} (t)$、$f^{(4)} (t)$ が何であれ、上の近似式が成り立つには、 $$ \begin{align*} \left[ c_{-2} + c_{-1} + c_{0} + c_{1} + c_{2} \right] =& 0 \\ \left[ -2 c_{-2} - c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 2 c_{2} \right] =& 0 \\ \left[ 4 c_{-2} + c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 4 c_{2} \right] =& 0 \\ \left[ -8 c_{-2} - c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 8 c_{2} \right] =& 0 \\ \left[ 16 c_{-2} + c_{-1} + 0 c_{0} + c_{1} + 16 c_{2} \right] h^{4} f^{(4)} (t) =& 24 f^{(4)} (t) \end{align*} $$ を満たせばよい。行列の形に簡単に変えてみると、 $$ \begin{align*} & \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ 16 & 1 & 0 & 1 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{-2} \\ c_{-1} \\ c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} (-2)^{0} & (-1)^{0} & (0)^{0} & (1)^{0} & (2)^{0} \\ (-2)^{1} & (-1)^{1} & (0)^{1} & (1)^{1} & (2)^{1} \\ (-2)^{2} & (-1)^{2} & (0)^{2} & (1)^{2} & (2)^{2} \\ (-2)^{3} & (-1)^{3} & (0)^{3} & (1)^{3} & (2)^{3} \\ (-2)^{4} & (-1)^{4} & (0)^{4} & (1)^{4} & (2)^{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{-2} \\ c_{-1} \\ c_{0} \\ c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = {{ 1 } \over { h^{4} }} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 4! \end{bmatrix} \end{align*} $$ 最後の行で、左辺は定理で見た通りの形で、右辺では、私たちが興味を持つ$d$番目の行を除き、すべて$0$ になってしまったことを確認できる。左辺の行列を右辺に移すと、私たちが欲しかった近似式を得る。

■

例えば、$\left\{ -3, -1, 0, 1 \right\}$の4つの点を使用して2次の微分を近似したい場合は、以下の行列方程式を使用すればよい。 $$ \begin{align*} & \begin{bmatrix} (-3)^{0} & (-1)^{0} & (0)^{0} & (1)^{0} \\ (-3)^{1} & (-1)^{1} & (0)^{1} & (1)^{1} \\ (-3)^{2} & (-1)^{2} & (0)^{2} & (1)^{2} \\ (-3)^{3} & (-1)^{3} & (0)^{3} & (1)^{3} \\ (-3)^{4} & (-1)^{4} & (0)^{4} & (1)^{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{-3} \\ c_{-1} \\ c_{0} \\ c_{1} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -3 & -1 & 0 & 1 \\ 9 & 1 & 0 & 1 \\ -27 & -1 & 0 & 1 \\ 81 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{-3} \\ c_{-1} \\ c_{0} \\ c_{1} \end{bmatrix} = {{ 1 } \over { h^{2} }} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2! \\ 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$ そして、以下を得るように解く。直接計算はとても難しいので、コンピューターの力を借りよう。 $$ \begin{align*} f '' (t) \approx & \left[ c_{-3} f (t - 3h) + c_{-1} f (t - h) + c_{0} f(t) + c_{1} f (t + h) \right] \\ =& {{ 1 } \over { h^{2} }} \left[ 0 f (t - 3h) + f (t - h) - 2 f(t) + f (t + h) \right] \end{align*} $$

精度

じっくり見せていないが、その精度は$O \left( h^{n - d} \right)$とされていて、ステンシルポイントを多く使用するほど精確になり、微分の数を増やすほど、コストが高くなると言われている。

テーブル 2

関連項目

  1. https://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html ↩︎

  2. Fornberg. (1988). Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids: Ch4. ↩︎