永続ホモロジーグループの定義
📂位相データ分析永続ホモロジーグループの定義
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オリエンテッドorientedk-シンプレックス K から得たフリーグループCkにおいて、∂k∘∂k+1=0を満たす境界作用素∂k:Ck→Ck−1はチェインコンプレックスを形成する。サイクルグループcycle groupZk:=ker∂k、バウンダリーグループboundary groupBk:=Im∂k+1の商群で定義される次のものをk番目のホモロジーグループと呼ぶ。
Hk:=Zk/Bk
一方でKが次のようなフィルトレーションを持つフィルタードコンプレックスだとする。
K0⊂⋯⊂Ki−1⊂Ki⊂⋯⊂Ki+p⊂Ki+p+1⊂⋯⊂K
それにより、Kiはすべて単体複体であるため、それぞれのインデックスiごとに対応する境界作用素∂kiとCki,Zki,Bkiを考えることができる。
定義
次のグループをKiのk番目のp-パーシステントホモロジーグループp-パーシステントk番目ホモロジーグループofKiと呼ぶ。
Hki,p:=Zki/(Bki+p∩Zki)
Hki,pのランクβki,pをKiのk番目のp-パーシステントベッティ数と呼ぶ。
説明
p=0であればBki+0∩Zki=Bkiとなり、元のホモロジーグループの定義に合致する。
数多くの添え字に頭が混乱しそうだが、重要なのはp-パーシステントということが与える概念的意味だけだ。
⋯⊂Ki⊂⋯⊂Ki+p⊂⋯
実際にフィルトレーションを見れば、KiからKi+pの間にも単体複体が存在するが、p-パーシステントホモロジーグループの定義はそれらについて全く言及していない。逆に言えば、その中間部分は興味がないとみなされ、iからi+pまで同じものと見なされるから、定義に含めないということになる。これを「KiはKi+pまで代数的に変化がない」と解釈すれば、今度はp-パーシステントp-パーシステントという表現が直感的に納得できるはずだ。