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永続ホモロジーグループの定義 📂位相データ分析

永続ホモロジーグループの定義

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オリエンテッドorientedkk-シンプレックス KK から得たフリーグループCk\mathsf{C}_{k}において、kk+1=0\partial_{k} \circ \partial_{k+1} = 0を満たす境界作用素k:CkCk1\partial_{k} : \mathsf{C}_{k} \to \mathsf{C}_{k-1}チェインコンプレックスを形成する。サイクルグループcycle groupZk:=kerk\mathsf{Z}_{k} := \ker \partial_{k}、バウンダリーグループboundary groupBk:=Imk+1\mathsf{B}_{k} := \operatorname{Im} \partial_{k+1}商群で定義される次のものをkk番目のホモロジーグループと呼ぶ。 Hk:=Zk/Bk \mathsf{H}_{k} := \mathsf{Z}_{k} / \mathsf{B}_{k} 一方でKKが次のようなフィルトレーションを持つフィルタードコンプレックスだとする。 K0Ki1KiKi+pKi+p+1K K^{0} \subset \cdots \subset K^{i-1} \subset K^{i} \subset \cdots \subset K^{i+p} \subset K^{i+p+1} \subset \cdots \subset K それにより、KiK^{i}はすべて単体複体であるため、それぞれのインデックスiiごとに対応する境界作用素ki\partial_{k}^{i}Cki,Zki,Bki\mathsf{C}_{k}^{i}, \mathsf{Z}_{k}^{i}, \mathsf{B}_{k}^{i}を考えることができる。

定義1

次のグループKiK^{i}kk番目のpp-パーシステントホモロジーグループpp-パーシステントkk番目ホモロジーグループofKiK^{i}と呼ぶ。 Hki,p:=Zki/(Bki+pZki) \mathsf{H}_{k}^{i,p} := \mathsf{Z}_{k}^{i} / \left( \mathsf{B}_{k}^{i+p} \cap \mathsf{Z}_{k}^{i} \right) Hki,p\mathsf{H}_{k}^{i,p}ランクβki,p\beta_{k}^{i,p}KiK^{i}kk番目のpp-パーシステントベッティ数と呼ぶ。

説明

p=0p = 0であればBki+0Zki=Bki\mathsf{B}_{k}^{i+0} \cap \mathsf{Z}_{k}^{i} = \mathsf{B}_{k}^{i}となり、元のホモロジーグループの定義に合致する。

数多くの添え字に頭が混乱しそうだが、重要なのはpp-パーシステントということが与える概念的意味だけだ。 KiKi+p \cdots \subset K^{i} \subset \cdots \subset K^{i+p} \subset \cdots 実際にフィルトレーションを見れば、KiK^{i}からKi+pK^{i+p}の間にも単体複体が存在するが、pp-パーシステントホモロジーグループの定義はそれらについて全く言及していない。逆に言えば、その中間部分は興味がないとみなされ、iiからi+pi+pまで同じものと見なされるから、定義に含めないということになる。これを「KiK^{i}Ki+pK^{i+p}まで代数的に変化がない」と解釈すれば、今度はpp-パーシステントpp-パーシステントという表現が直感的に納得できるはずだ。


  1. Zomorodian. (2005). Computing Persistent Homology: 2.6 ↩︎