指数分布の無記憶性

特質

$X \sim \exp{ ( \lambda ) }$ ならば $P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) = P(X \ge t)$

説明

指数分布は、ある出来事が起こる期間に関心を持つ連続確率分布だ。深く考えなくても、寿命予測や保険などに応用できることを想像できる。

ここでの無記憶性^{memoryless Property}とは、過ぎた時間がこれから起こる出来事に影響を与えない性質を言う。たとえば、全ての健康に関する条件が同じであるならば、30代の男性や50代の男性が先に死ぬかはわからない。20年長く生きたとしても、今日の健康に関する条件が全て同じならば、死のタイマーも今日から再スタートするのだ。さらに極端には、今日明日生まれる赤ちゃんや今日明日する老人に行く順番はないとも言える。これが現実と合わない理由は、「健康に関する全ての条件が同じ」だという仮定が間違っているからだ。

逆に、ある集団に属する構成員全員が同じ仮定を満たすことを示せるなら、その人たちの寿命を予測できるだろう。これらの人々の寿命が終わる時に一定の報酬金を約束し、期待寿命より短い時間でより多くのお金を手に入れることがまさに保険だ。

導出

$P(0 \le X \le a) = 1 - e^{-\lambda a}$ なので $P(X \ge a) = e^{-\lambda a}$ であり、 $\begin{align*} P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) =& {{P(X \ge s+ t)} \over {P(X \ge s)}} \\ =& {{e^{-\lambda (s+ t)}} \over {e^{-\lambda s}}} \\ =& e^{ - \lambda t} \\ =& P(X \ge t) \end{align*}$

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参照

幾何分布の無記憶性