📂確率微分方程式

ブラック-ショールズモデルの導出

モデル ¹

$t$ 時点で $S_{t}$ を基礎資産 $1$単位の価格とし、$S_{t}$ が幾何ブラウン運動をすると仮定しよう。すなわち、標準ブラウン運動 $W_{t}$ とトレンド^drift $\mu \in \mathbb{R}$ および拡散^diffusion $\sigma^{2} > 0$ に対して、$S_{t}$ は次の確率微分方程式の解である。 $$ d S_{t} = S_{t} \left( \mu dt + \sigma d W_{t} \right) $$ 無リスク金利 $r \in \mathbb{R}$ が与えられたとき、$t$ 時点での派生商品 $1$単位の価格 $F = F \left( t, S_{t} \right)$ は次の偏微分方程式に従う。 $$ r F = {{ \partial F } \over { \partial t }} + r S_{t} {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} + {{ 1 } \over { 2 }} \sigma^{2} S_{t}^{2} {{ \partial^{2} F } \over { \partial S_{t}^{2} }} $$

変数

• $F \left( t, S_{t} \right)$: 派生商品^derivativesは、先物、オプションなどの金融商品を指す。
• $S_{t}$: 基礎資産^{underlying Assets}は、通貨、債券、株式など、派生商品の取引対象となる商品を指す。

パラメータ

• $r \in \mathbb{R}$: 無リスク資産^{risk-free Assets}の利率を示す。無リスク資産の代表的な例には預金がある。
• $\sigma^{2} > 0$: 市場のボラティリティ^volatilityを示す。

説明

派生商品に対する一般的な誤解とは異なり、先物^futureやオプション^optionは、不確実な未来に対するヘッジ^edgeの手段として作られた。不確実な未来に備えるために、ある程度の費用^premiumを支払ってもリスクを減らすための方法であった。問題は、その価格を設定する適切な方法がなかったことであり、取引者は経験に基づいて感覚的に派生商品を取引していた。ブラック-ショールズモデルは、そのような派生商品の価格を数学的に説明できるようにした方程式である。

一般的に、ブラック-ショールズモデル(1973)の貢献者としては、フィッシャー・ブラック^{Fischer Black}とマイロン・ショールズ^{Myron Scholes}のほか、本投稿の「ヘッジを用いた導出」を紹介したロバート・マートン^{Robert K. Merton}の3人が挙げられる。残念ながらブラックは1995年に亡くなり、ショールズとマートンは1997年にノーベル経済学賞を受賞した。ブラック-ショールズ-マートン方程式の発見以降、オプション市場は急速に発展し、学界には金融工学という新たな分野の誕生をもたらした。

ブラックの喜劇

ウィキペディア²によると、ブラックは博士課程の時に専攻を頻繁に変え、どこかに定着するのが苦手だったという。物理学から数学、コンピューター、人工知能へと変更したが、結局名を残した分野は経済学になった。

信頼できるリファレンスは見つからなかったが、筆者がどこかで聞いた話によると、ブラックは物理学を専攻していた時に、周囲の狂った天才たちを見て「ここでは生き残れない」と思ったという。後に経済/金融を学んでみると、数学を積極的に使う先駆者がいなく、理工学の怪物たちがいない荒れ地で、数学を武器に自らが先駆者となったという。

ショールズの悲劇

ナムウィキ³によると、ショールズは1997年のノーベル経済学賞の記者会見で、賞金で株投資をすると答えてセンセーションを巻き起こしたという。当時、ショールズが運用していたヘッジファンドは過度の自信から過剰なレバレッジ^leverageを使用し、1998年のロシアの債務不履行で破綻したという。危機を乗り越えた後、ショールズ は最終的に投資家に利益を返し、その後もファンドマネージャーとして活動を続けたが、サブプライムモーゲージ危機が起こる直前に引退したという。

前提

本格的な導出に先立ち、いくつかの前提について確認しておこう。

手数料、税金、配当などの言及されていない要素は考慮しない

物理学モデルで興味の対象でない抵抗や温度、気圧などを考慮しないのと同じ程度に受け止めればよい。そこに加えて、トレンド $\mu$ と $\sigma$ などは単純に定数と仮定する。

派生商品は基礎資産と時点に依存している

派生商品の価格が基礎資産に独立していれば、派生、基礎という言葉を使う理由がない。基礎資産の価格が変わるにつれて派生商品の価格が変わるのが妥当である。また、時間の経過によって変わらない（定数である）ならば、派生商品の価格を検討する意味がない。したがって、$F$ の形を正確には言えないが、少なくとも二つの要素 $t$ と $S_{t}$ に対する関数であると仮定する。 $$ F = F \left( t, S_{t} \right) $$

基礎資産は幾何ブラウン運動をする

幾何ブラウン運動 GBMの代表的な応用は、まさに株価などの基礎資産の価格変動を説明することである。人口の変動量が全体の人口に比例するように、資産の価格変動も資産の価格に比例し、上場廃止にならない限りマイナスになることはないなど、良い前提を多く持っている。 $$ d S_{t} = S_{t} \left( \mu dt + \sigma d W_{t} \right) $$

ある株式の価格 $p_{t}$ が GBMに従うと仮定しよう。$t$日目の終値を$t-1$日目の終値で割り、対数を取った $$ r_{t} = \nabla \log p_{t} = \log {{ p_{t} } \over { p_{t-1} }} $$ をリターン―リターン^returnと呼ぶが、株価の大きさに関係なく価格が上がれば正の値、下がれば負の値になり、直感と一致する。対数正規分布の項で説明したように、このリターンは正規分布に従い、単純な上下ではなく、株価の成長と逆成長その本質に関心を持つものと見ることができる。

無リスク資産はメルサス成長をする

メルサス成長モデルは、人口動態学^{population dynamics}で、資源の制限や介入などがない場合の集団の成長を説明する最も単純なモデルであり、経済/金融のセンスでは無リスク資産の増殖を説明する前提になる。無リスク収益率は$r$ 定数として仮定され、その金融収益は資産 $N_{t}$ の規模に比例するため、次のような常微分方程式で表現できる。 $$ {{ d V_{t} } \over { d t }} = r V_{t} $$

無裁定価格: ポートフォリオ間には価値の差がない

• ポートフォリオ^portfolioに関する数式的な説明は、この証明でさらに詳しく説明する。

無裁定価格^{arbitrage-free Pricing}の前提とは、我々が考慮するすべてのポートフォリオが同じ価値でバランスを保っているということである。例えば、ポートフォリオ $A$ の価値が $B$ よりも高い場合、合理的な取引主体はより価値のある $A$ の比重を増やして裁定利益を得ることができるため、$B$ を考える理由がない。したがって、我々が考慮するポートフォリオは、このような裁定取引によってこれ以上利益を得ることができない状態であると仮定する。

摩擦のない市場: 分割と空売りに制限がない

株をやったことがある人ならわかるが、この

取引というのは最小限の値段単位があり、私が望む金額で取引できないし、空売りをしたくても日本の株式市場では貸借空売りが原則であり、制限がある。その取引単位を自由に分割でき、どんな制約もなく空売りできるということは、行動を妨げる摩擦がないと見ることができる。

導出

Part 1. ポートフォリオの構成

我々が保有できる資産は、次の3つの種類だけとしよう。

• 基礎資産: $s$ 単位保有しているとしよう。
• 派生商品: $f$ 単位保有しているとしよう。
• 無リスク資産: 基礎資産でも派生商品でもない資産で、現金と考えても構わない。

$t$ 時点で我々が保有するすべての資産の価値を $V_{t}$ とすると、$S_{t}$ が基礎資産 $1$単位の価格であり、$F \left( t , S_{t} \right)$ が派生商品 $1$単位の価格であったので、次のように表せる。 $$ V_{t} = f F \left( t, S_{t} \right) + s S_{t} $$ ポートフォリオを構成するとは、この $f$ と $s$ の量を調整すること、つまりどのように投資するかについての戦略を立てることである。このようなポートフォリオ構成によって発生する取引量が多すぎて市場に影響を与えるという前提は非合理的であるため、基礎資産と派生商品の価格は、$f$ と $s$ の選択に関係なく一定と仮定しよう。つまり、$f$ と $s$ をどのように定めても、以下の数学的議論は変わらないということである。

注意すべきは、$V_{t}$ は全資産の合計ではないということである。株式口座の残高だけを見ると考えればわかりやすい。ポートフォリオの例としてどのようなものがあるか考えてみよう：

• 貯蓄 $V_{t} = 0$：株式口座を整理してすべて貯蓄し、利息だけを受け取る。数学しか知らない士人の目にはあまりにもトリビアル^trivialに見えるかもしれないが、暴落市場や不況に対処できる立派な戦略である。
• アリ^ant $V_{t} = 5 S_{t}$：個人ならば、派生商品には手を出さないようにしよう。個人が空売りが禁止されている国では、ほとんどの個人投資家はこのようなポートフォリオを持っている。例として、数式で $S_{t} = 81,200$ がサムスン電子の株価であれば、このポートフォリオはサムスン電子 $5$株を保有している私の友人「キム・スヒョン」の口座である。
• ヘッジ^hedge $\displaystyle V_{t} = 1 \cdot F- {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \cdot S_{t}$：コールオプション^{call Option}を $1$だけ買い、その基礎資産を ${{ \partial F } \over { \partial S_{t} }}$ だけ空売りしたとしよう。オプションの満期日に基礎資産の価格が大幅に上昇した場合、コールオプションが大きな利益をもたらし、基礎資産の価格がむしろ下落した場合は、空売りで既に利益を得ている。

ヘッジについての説明で触れたオプションは、ヨーロピアンオプション^{european Option}であり、通常、私たちが知っている「満期日にのみ権利を行使できるオプション」である。アメリカンオプション^{american Option}は満期前でも常に権利を行使できるが、大して知る必要はなく、ヨーロピアン、アメリカンという言葉に怖がることはないようにしよう。

我々は最後の例、現物空売りで派生商品をヘッジするポートフォリオ $$ V_{t} = 1 \cdot F \left( t, S_{t} \right) - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \cdot S_{t} $$ からブラック-ショールズ方程式を導出する。正確にヘッジしているので、このポートフォリオは無リスク資産であり、時間 $t$ に対する増分^incrementは $$ d V_{t} = d F - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} d S_{t} $$ である。ここで、$S_{t}$ は幾何ブラウン運動をすると仮定したので、$d S_{t}$ に $\displaystyle S_{t} \left( \mu dt + \sigma d W_{t} \right)$ を代入すると $$ d V_{t} = d F - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t} \left( \mu dt + \sigma d W_{t} \right) $$ である。一方、無裁定価格の前提を考えると、このポートフォリオと無リスク資産のポートフォリオの増分は同じでなければならない。もしポートフォリオ間に価格差があると仮定すると、他方のポートフォリオを処分して異なるポートフォリオに投資することで裁定利益を得ることができるためである。無リスク資産はメルサス成長をするという前提をしたので、無リスク金利 $r$ に対して、次のような常微分方程式で表される。 $$ {{ d V_{t} } \over { d t }} = r V_{t} $$ これを整理して表すと $$ \begin{align*} d V_{t} =& d F - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t} \left( \mu dt + \sigma d W_{t} \right) \\ d V_{t} =& r V_{t} dt \end{align*} $$ であるため、 $$ \begin{equation} r V_{t} dt = d F - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t} \left( \mu dt + \sigma d W_{t} \right) \label{1} \end{equation} $$ を得る。これで、$dF$ を求めるために伊藤積分を通じて計算してみよう。

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Part 2. 伊藤計算

伊藤の公式: 伊藤過程 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$ が与えられているとする。 $$ d X_{t} = u dt + v d W_{t} $$ 関数 $V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$ に対して $Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$ と置くと、$\left\{ Y_{t} \right\}$ も伊藤過程であり、次が成立する。 $$ \begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*} $$

幾何ブラウン運動で $S_{t}$ を分配法則に従って展開すると $$ d S_{t} = \mu S_{t} dt + \sigma S_{t} d W_{t} $$ であり、伊藤の公式で $u = \mu S_{t}$ および $v = \sigma S_{t}$ なので $$ d F = \left( {{ \partial F } \over { \partial t }} + {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \mu S_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} F } \over { \partial S_{t}^{2} }} \sigma^{2} S_{t}^{2} \right) dt + {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \sigma S_{t} d W_{t} $$ を得る。$\eqref{1}$ の $d F$ にこれを代入してみると $$ \begin{align*} r V_{t} dt =& d F - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t} \mu dt - {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \sigma S_{t} d W_{t} \\ =& \left( {{ \partial F } \over { \partial t }} + {\color{Red}{{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \mu S_{t}} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} F } \over { \partial S_{t}^{2} }} \sigma^{2} S_{t}^{2} \right) dt + {\color{Blue}{{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \sigma S_{t} d W_{t}} \\ & - {\color{Red}{{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t} \mu dt} - {\color{Blue}{{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} \sigma S_{t} d W_{t}} \\ =& {{ \partial F } \over { \partial t }} dt + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} F } \over { \partial S_{t}^{2} }} \sigma^{2} S_{t}^{2} dt \end{align*} $$ である。左辺のポートフォリオの価値 $V_{t}$ が $\displaystyle V_{t} = F- {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t}$ のように定義されていたので、これを代入すると $$ r \left( F- {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} S_{t} \right) dt = {{ \partial F } \over { \partial t }} dt + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} F } \over { \partial S_{t}^{2} }} \sigma^{2} S_{t}^{2} dt $$ である。$rF$ に対して式を整理すると、求めていた次の方程式を得る。 $$ r F = {{ \partial F } \over { \partial t }} + r S_{t} {{ \partial F } \over { \partial S_{t} }} + {{ 1 } \over { 2 }} \sigma^{2} S_{t}^{2} {{ \partial^{2} F } \over { \partial S_{t}^{2} }} $$

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