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伊藤の公式とマルチンゲール表現定理 📂確率微分方程式

伊藤の公式とマルチンゲール表現定理

定理 1 2

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P)フィルトレーション {Ft}t0\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0} が与えられて、ウィーナー過程 {Wt}t0\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0}Ft\mathcal{F}_{t}-適応されているとする。

イトーの定理

fL2(P)f \in \mathcal{L}^{2} (P) の場合、次を満たす唯一の確率過程 X(t,ω)m2(0,T)X (t,\omega) \in m^{2}(0,T) が存在する。 f(ω)=E(f)+0TX(s,ω)dWs f (\omega) = E (f) + \int_{0}^{T} X(s, \omega) d W_{s}

マルチンゲール表現定理

すべての t0t \ge 0 に対して、ftL2(P)f_{t} \in \mathcal{L}^{2} (P) であり、確率 PP に対するFt\mathcal{F}_{t}-マルチンゲールであれば、すべての t0t \ge 0 に対して次を満たす唯一の確率過程 X(t,ω)m2(0,t)X (t,\omega) \in m^{2}(0,t) が存在する。 ft(ω)=E(f0)+0tX(s,ω)dWs f_{t} (\omega) = E \left( f_{0} \right) + \int_{0}^{t} X(s, \omega) d W_{s}

解説

Lp(μ)\mathcal{L}^{p} (\mu) は、ルベーグ測度 μ\mu の下で Ωfpdμ<\displaystyle \int_{\Omega} \left| f \right| ^{p} d \mu < \infty を満たす関数 ff を集めた ルベーグ空間 である。与えられた確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) では 確率 PP もまた測度 として扱われるため、上記の命題では fL2(P)f \in \mathcal{L}^{2}(P)PP に関して積分可能な関数であり、従って FF の期待値 E(f)=ΩfdP\displaystyle E(f) = \int_{\Omega} f d P のような表記が登場することができた。

イトーの定理は固定された時間 TT に関する定理であり、マルチンゲール表現の定理はすべての t0t \ge 0 に関するものであることに注意しよう。一方で ftf_{t}Ft\mathcal{F}_{t}-マルチンゲール であることは、ftf_{t}Ft\mathcal{F}_{t}-適応されつつ次を満たしていることを意味する。 ts0,E(ftFs)=fs \forall t \ge s \ge 0, E \left( f_{t} | \mathcal{F}_{s} \right) = f_{s} この定義によると、マルチンゲール表現定理で登場する期待値は必ずしも E(ft)E \left( f_{t} \right) である必要はなく、E(f0)E \left( f_{0} \right) でも十分であることが確認できる。


  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p51~53. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p126~127. ↩︎