逆双曲線関数の導関数
📂関数逆双曲線関数の導関数
式
逆双曲線関数の導関数は以下の通りです。
dxd(sinh−1x)dxd(cosh−1x)dxd(tanh−1x)=x2+11=x2−11=1−x21dxd(csch−1x)dxd(sech−1x)dxd(coth−1x)=−∣x∣x2+11=−x1−x21=1−x21
説明
逆双曲線関数のクローズドフォームは以下のようです。
sinh−1xcosh−1xtanh−1x=ln(x+x2+1)=ln(x+x2−1)=21ln(1−x1+x)x∈Rx≤1−1<x<1
証明
(sinh−1x)′
連鎖律を使用
y=sinh−1xとする。するとsinhy=xであるため、両辺をxに関して微分すると連鎖律により、
dxdsinhy=(x)′⟹dydsinhydxdy=1⟹coshydxdy=1
したがって、次を得る。
dxdy=coshy1
しかしcosh2y−sinh2y=1であり、sinhy=xであるため、
dxdy=sinh2y+11=x2+11
■
対数関数の微分法を使用
対数関数の微分法によって、
dxd(sinh−1x)=dxdln(x+x2+1)=x+x2+1(x+x2+1)′=x+x2+11+2x2+12x=x+x2+1x2+1x+x2+1=(x+x2+1)x2+1x+x2+1=x2+11
■
(cosh−1x)′
上記の方法で得られるため、手順のみ簡単に列挙します。
⟹⟹y=cosh−1x⟹coshy=x⟹dxdcoshy=1sinhydxdy=1⟹dxdy=sinhy1dxdy=cosh2y+11=x2+11
(tanh−1x)′
上記の方法で得られるため、手順のみ簡単に列挙します。
⟹⟹y=tanh−1x⟹tanhy=x⟹dxdtanhy=1sech2ydxdy=1⟹dxdy=sech2y1dxdy=1−tanh2y1=1−x21