📂量子力学

調和振動子演算子の行列表現

説明

調和

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シュレディンガー方程式は線形方程式なので、方程式を満たす複数の波動関数の線形結合もまた方程式を満たす。調和振動子の各状態の固有関数を$\ket{\psi_{0}}$、$\ket{\psi_{1}}$、$\cdots$、$|\psi_{n}>$とすると、これらの固有関数の線形結合である$\ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}>$もまたシュレディンガー方程式の解である。(固有関数だという意味ではない。一般に固有関数の線形結合は固有関数ではない。) 基底$\mathrm{basis}$を$ (\psi_{0},\ \psi_{1},\cdots , \psi_{n})$とし、基底状態から順番に順序をつけよう。すると基底状態からの固有関数を以下のような行列で表現できる。

$$ \ket{\psi_{0}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \ket{\psi_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, |\psi_{n}> = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $$

線形代数をよく知らない人は、直交座標系で各単位ベクトルがどのように表現されるか考えてみよう。 $ \hat{\mathbf{x}} = (1,\ 0,\ 0)$, $\hat{\mathbf{y}} = (0,\ 1,\ 0), \hat{\mathbf{z}} = (0,\ 0,\ 1) $$

したがって、各固有関数の線形結合である$\ket{\psi}$は以下のような行列で表現できる。

$$ \ket{\psi}=c_{0}\ket{\psi_{0}} + c_{1}\ket{\psi_{1}} + \cdots + c_{n}|\psi_{n}> = \begin{pmatrix} c_{0} \\ c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix} $$

はしご演算子の行列表現を求める前に、簡単な例でその原理を説明する。任意の$2\times 2$行列$A$があるとする。この行列の成分がわからないので、以下のように表現しよう。$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$この行列の1行1列成分を取り出す方法は、前後に二つの行列$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$を掛けることである。$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = a $同じ方法を使って各成分を求める過程は以下のとおりである。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = b $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = c $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = d $$

この原理を理解したなら、いよいよ本格的に調和振動子のはしご演算子の行列表現を求めてみよう。これからは調和振動子の固有関数を簡単に$\psi_{n}> \equiv |n>$と表記する。すると固有関数とはしご演算子の関係式を次のように書ける。$a_{+}|n>= \sqrt{n+1}|n>$これを用いて$a_{+}$の各成分を求めることができる。調和振動子の状態は$n=0$から始まることに注意しよう。また$\braket{m | n}=\delta_{mn}$を用いると、$\braket{n+1 | a_{+}|n}$のときのみ行列の成分が存在することがわかる。他の成分はすべて$0$である。例えば$\braket{1 | a_{+}|1}=\braket{1 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{1 | 2}=0 $$ \braket{2 | a_{+}|1}=\braket{2 | \sqrt{2}|2}=\sqrt{2}\braket{2 | 2}=\sqrt{2}$ $0$でない成分だけを求めてみると$\braket{1 | a_{+}|0}=1 $$ \braket{2 | a_{+}|1}=\sqrt{2} $$ \braket{3 | a_{+}|2}=\sqrt{3}$ $\vdots $$ \braket{n+1 | a_{+}|n}=\sqrt{n+1}$したがって$a_{+}$の行列は$(n+2)$行$(n+1)$列で$0$でない値$\sqrt{n+1}$を持つ。(調和振動子の状態は$n=0$から始まることをもう一度思い出そう)$a_{+}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} &0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} &0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& \sqrt{4} &0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$同じ方法で$a_{-}$の行列表現も求めることができる。過程は省略するので自分でやってみよう。$a_{-}=\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0& 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$行列表現もまた$(a_{+})^{\ast}=a_{-}$を満たすことがわかる。調和振動子のハミルトニアン$H$もまた行列で表現できる。$H|n>=(n+\frac{1}{2})\hbar w|n>$であることを知っているので、上で行った方法をそのまま使うと$H=\hbar w\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0& \cdots \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 &0 & \cdots \\ 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \frac{9}{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}$これもまた過程は省略するので自分でやってみよう。