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オイラーの反射公式の導出 📂関数

オイラーの反射公式の導出

式

非整数の pp に対して Γ(1−p)Γ(p)=πsin⁡πp {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} = { {\pi} \over {\sin \pi p } }

説明

ガンマ関数を使った式の中で最も有名な式だ。

反射公式から得られる役立つ結果には Γ(12)=π \Gamma ( { 1 \over 2} ) = \sqrt{\pi} がある。そのためか？反射公式という名前は 12\frac{1}{2} を反射させるという意味からつけられたと言われている。

導出

ワイエルシュトラスの無限積: 1Γ(p)=peγp∏n=1∞(1+pn)e−pn {1 \over \Gamma (p)} = p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} }

1Γ(p)⋅1Γ(−p)=peγp∏n=1∞(1+pn)e−pn⋅(−p)e−γp∏n=1∞(1−pn)epn=−p2∏n=1∞(1−p2n2) \begin{align*} {{1} \over {\Gamma (p)}} \cdot { 1 \over { \Gamma ( -p )}} =& p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } \cdot (-p) e^{- \gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p \over n} \right) e^{ {p \over n} } \\ =& -p^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) \end{align*} 一方で Γ(1−p)=−pΓ(−p){ \Gamma ( 1-p )} = -p \Gamma (-p) だから 1Γ(1−p)Γ(p)=p∏n=1∞(1−p2n2) { 1 \over {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} } = p \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right)

シンク関数のオイラー表示: sin⁡πxπx=∏n=1∞(1−x2n2) {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right)

シンク関数のオイラー表示をうまく調整すれば、求めていた式を得ることができる。

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