オイラーの反射公式の導出
式
非整数の $p$ に対して $$ {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} = { {\pi} \over {\sin \pi p } } $$
説明
ガンマ関数を使った式の中で最も有名な式だ。
反射公式から得られる役立つ結果には $ \Gamma ( { 1 \over 2} ) = \sqrt{\pi}$ がある。そのためか？反射公式という名前は $\frac{1}{2}$ を反射させるという意味からつけられたと言われている。
導出
ワイエルシュトラスの無限積: $$ {1 \over \Gamma (p)} = p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } $$
$$ \begin{align*} {{1} \over {\Gamma (p)}} \cdot { 1 \over { \Gamma ( -p )}} =& p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } \cdot (-p) e^{- \gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p \over n} \right) e^{ {p \over n} } \\ =& -p^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) \end{align*} $$ 一方で ${ \Gamma ( 1-p )} = -p \Gamma (-p)$ だから $$ { 1 \over {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} } = p \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) $$
シンク関数のオイラー表示: $$ {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) $$
シンク関数のオイラー表示をうまく調整すれば、求めていた式を得ることができる。
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