logo

全微分、完全微分 📂多変数ベクトル解析

全微分、完全微分

定義

多変数関数f:Rn→Rf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}が与えられたとしよう。変数x=(x1,x2,…,xn)\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})の変化に伴うf(x)f(\mathbf{x})の変化を以下のようにdfdfと表し、これをffの全微分total differentialまたは完全微分exact differentialという。

df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+⋯+∂f∂xndxn \begin{equation} df = \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} }dx_{1} + \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} }dx_{2} + \cdots + \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} }dx_{n} \label{1} \end{equation}

説明

上記の定義は、変数x\mathbf{x}の変化に伴うffの値の変化を

各成分の変化量dxidx_{i}に、各成分の変化に伴うffの変化率∂f∂xi\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}を掛けた∂f∂xidxi\dfrac{ \partial f}{ \partial x_{i} }dx_{i}を全て足し合わせること

と考えるという意味だ。以下の式を通して、この表記が直観的で便利であることが分かる。f=f(x,y,z)f=f(x,y,z)とするとき、

dfdx=∂f∂xdxdx+∂f∂ydydx+∂f∂zdzdx=∂f∂x \dfrac{df}{dx} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x}

物理学では、次のような形でも頻繁に登場する。(x(t),y(t),z(t))\left( x(t), y(t), z(t) \right)について、

dfdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt+∂f∂zdzdt \dfrac{d f}{d t} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dt}

導出

2変数関数について、次のような方法で(1)\eqref{1}を導出できる。z=f(x,y)z=f(x,y)が与えられたとしよう。zzの全微分は変数xx、yyが変化するときのzzの変化量であるから、以下のように表される。

dz=f(x+dx,y+dy)−f(x,y) dz = f(x+dx,y+dy)-f(x,y)

ここで、右辺にf(x,y+dy)f(x,y+dy)を引いて足してから式を整理すると、以下のようになる。 dz=f(x+dx,y+dy)−f(x,y+dy)+f(x,y+dy)−f(x,y)=[f(x+dx,y+dy)−f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)−f(x,y)]=f(x+dx,y+dy)−f(x,y+dy)dxdx+f(x,y+dy)−f(x,y)dydy≈∂f∂xdx+∂f∂ydy=∂z∂xdx+∂z∂ydy \begin{align*} dz &= f(x+dx,y+dy) {\color{blue}-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)}-f(x,y) \\ &= [f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)-f(x,y)] \\ &= \frac{f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)}{dx}dx+\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy \\ &\approx \frac{ \partial f}{ \partial x}dx + \frac{ \partial f}{ \partial y }dy \\ &= \frac{ \partial z}{ \partial x}dx+\frac{ \partial z}{ \partial y}dy \end{align*}

■