級数の絶対収束と条件収束
📂微分積分学級数の絶対収束と条件収束
定義
級数 n=0∑∞anに対して、 n=0∑∞∣an∣が収束すれば、 n=0∑∞anが 絶対収束absolute convergenceすると言う。
説明
注意すべき点は、与えられた級数ではなく、「級数の各項に絶対値をかけた級数」が収束する時に、与えられた級数が絶対収束すると言うことだ。これは、収束する級数が絶対収束しない場合もあることを意味する。交代調和級数を考えると、この級数は収束するが、調和級数は収束しない。このような場合、交代調和級数が条件収束すると言う。
条件収束
級数 n=0∑∞anが収束するが、 n=0∑∞∣an∣が発散すると、 n=0∑∞anが 条件収束conditional convergenceすると言う。
定理
級数 ∑anが絶対収束すれば、収束する。
証明
不等式 0≤an+∣an∣≤2∣an∣が成立する。 ∑anが絶対収束するので、 ∑2∣an∣も収束する。それで、比較判定法により ∑an+∣an∣も収束する。したがって、 ∑anは収束する二つの級数の差として以下のように収束する。
∑an=∑(an+∣an∣)−∑∣an∣<∞
■