📂整数論

指数補助補題の証明

定理

$n \in \mathbb{N}$、$x , y \in \mathbb{Z}$、素数 $p \ne 2$ が $$ \gcd (n,p) = 1 \\ p \mid (x - y) \\ p \nmid x \\ p \nmid y $$ を満たすとき $$ v_{p} \left( x^{n} - y^{n} \right) = v_{p} \left( x - y \right) + v_{p} (n) $$

• $v_{p} (a)$ は $a$ の $p$進数展開を意味する。

証明 ¹

戦略：$p$進数展開の性質から自然に導かれる。ただし、それらの性質を証明する過程はかなり長い。キーは、まずそれらの性質を提示することで、初等的な整数論の知識だけで証明できるので、怖がらずに挑戦してみよう。

補助定理($p$進数の性質):

• [3]: $n \in \mathbb{N}$、$x , y \in \mathbb{Z}$、素数 $p$ が $$ \gcd (n,p) = 1 \\ p \mid (x \mp y) \\ p \nmid x \\ p \nmid y $$ を満たすとき $$ v_{p} \left( x^{n} \pm y^{n} \right) = v_{p} \left( x \pm y \right) $$
• [4]: $x , y \in \mathbb{Z}$、素数 $p \ne 2$ が $$ p \mid (x - y) \\ p \nmid x \\ p \nmid y $$ を満たすとき $$ v_{p} \left( x^{p} - y^{p} \right) = v_{p} \left( x - y \right) +1 $$

---

$$ n := p^{\alpha} b \\ \gcd (p,b) = 1 $$ 上の2つの条件を満たすように 自然数 $n, b , \alpha$ を選ぶと $v_{p} (n) = \alpha$ となる。それから補助定理 [3]を使って $$ \begin{align*} v_{p} \left( x^{n} - y^{n} \right) =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha}} \right]^{b} - \left[ y^{p^{\alpha}} \right]^{b} \right) \\ =& v_{p} \left( x^{p^{\alpha}} - y^{p^{\alpha}} \right) \\ =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} - \left[ y^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} \right) \end{align*} $$ 補助定理 [4]を使って再帰的に解くと $$ \begin{align*} v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} - \left[ y^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} \right) =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 1}} \right] - \left[ y^{p^{\alpha - 1}} \right] \right) + 1 \\ =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 2}} \right]^{p} - \left[ y^{p^{\alpha - 2}} \right]^{p} \right) + 1 \\ =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 2}} \right] - \left[ y^{p^{\alpha - 2}} \right] \right) + 2 \\ &\vdots& \\ =& v_{p}(x-y) + \alpha \\ =& v_{p}(x-y) + v_{p} (n) \end{align*} $$ まとめると、以下を得る。 $$ v_{p} \left( x^{n} - y^{n} \right) = v_{p} \left( x - y \right) + v_{p} (n) $$

■