ラッセルのパラドックス
パラドックス 1
すべての集合の集合 $\mathscr{U}$ が存在するならば、ある集合 $R$ は $\mathscr{U}$ に属しながらも属さない。
説明
紀元前6世紀、クレタ出身の哲学者エピメニデスはこう言った。
「すべてのクレタ人は嘘つきだ!」
エピメニデスの主張が真であるならば、エピメニデスもまたクレタ人であるから、この主張は偽である。しかし、この主張が偽であるならば、エピメニデスは嘘つきであるから、その主張に反せず真となる。論理において「すべて」という言葉はこれほど危険なものである。
1874年から1884年までのカントールの研究は、後に集合論と呼ばれるようになるものの原型であった。当時は学界の反発があまりに激しく、精神病を患うほどであったが、1902年にバートランド・ラッセルがこのパラドックスを発表したとき、カントールの集合論はすでに数学全般においてその土台として核心をなしていた。カントールの生涯は不幸であったが、彼の理論が学界全体を飲み込むのにわずか20~30年しかかからなかった。偉大な数学者ヒルベルトは「誰もカントールが作った楽園から我々を追い出すことはできない」と言った。集合の概念なしに厳密な数学を想像することすら難しくなったのである。
このような状況で発表されたラッセルのパラドックスは、文字通り当時の数学の根幹を揺るがした。ラッセルが見つけた矛盾が、自分が使っている集合にも存在したらどうするのか。このようなパラドックスが発生する条件を見つけ出せなければ、すべての研究は常に不安を抱えざるを得ない。数学が愛し誇る厳密性は証明の最初の行から崩れ、どのような結果を出しても、その中にラッセルのパラドックスが潜んでいる危険があるのである。
ラッセルが見つけたこの $R:= \left\{ S \in \mathscr{U} : S \notin S \right\}$ がどのように問題を引き起こすのか見てみよう。
- もし $R \in R$ ならば、$R \notin R$ ではないので $S = R \in \mathscr{U}$ は $(S \notin S)$ という条件を満たせず $R$ に含まれ得ない。すなわち $R \notin R$。
- もし $R \notin R$ ならば $R$ は $(S \notin S)$ という条件を満たすので $R$ に含まれる。したがって $R \in R$ である。
- しかし排中律2によれば $R \notin R$ でありながら $R \in R$ であることはあり得ない。
上記の短い論証を通じて、「すべての集合の集合」のようなものが存在するという前提そのものが誤りであることがわかる。これを保証するためにも分出公理型や正則性公理が必要であると言うことができ、学者たちは既存の未熟な集合論naive Set theoryから脱して、より厳密な公理系を求めるようになる。