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ルジャンドル多項式

定義

Legendre多項式はいくつかの方法で定義される。

微分方程式の解として

次のLegendre微分方程式の解をLegendre多項式という。

$$(1-x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} -2x\dfrac{dy}{dx} + l(l+1) y = 0$$

ロドリゲスの公式

次の関数$P_{l}$をLegendre多項式という。

$$P_{l}(x) = \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$$

これをロドリゲスの公式という。

説明

定義によると、$P_{n}$は技術的には多項‘関数’だが、慣習的にはLegendre‘多項式’と呼ばれる。これは韓国語だけでなく、英語でもpolynomial functionではなくLegendre polynomialと呼ばれる。

Legendre多項式は、直交性を含む数学的に多くの良い性質を持ち、球面座標系でラプラス方程式の解として現れるため、数学、物理学、工学など様々な分野で使用される。最初の数個のLegendre多項式は次の通りである。

$$\begin{align*} P_{0}(x) &= 1 \\ P_{1}(x) &= x \\ P_{2}(x) &= \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) &= \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) &= \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ \vdots \end{align*}$$

性質

直交性

区間$[-1,1]$で、Legendre多項式は直交集合を形成する。(リンク)

$$\int_{-1}^{1} P_{l}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm}$$

また、Legendre多項式は、自身より次数が低い多項式と直交する。 $f(x)$を$l$より次数が低い任意の多項式とする。それならば、

$$\int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x)dx=0$$

再帰関係

Legendre多項式は、以下の再帰公式を満たす。(リンク)

$$(2l+1)P_{l}(x)=P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)$$

$$lP_{l}(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x)$$

$$xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x)$$

生成関数

Legendre多項式の生成関数は、以下の通りである。(リンク)

$$\Phi (x,h)=\frac{1}{\sqrt{1-2xh+h^{2}}},\quad |h|<1$$

生成関数は定義により、以下の式を満たす。

$$\Phi (x,h)=P_{0}(x)+hP_{1}(x)+h^{2}P_{2}(x)+\cdots =\sum \limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x)$$