ルジャンドル多項式
定義
Legendre多項式はいくつかの方法で定義される。
微分方程式の解として
次のLegendre微分方程式の解をLegendre多項式という。
$$ (1-x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} -2x\dfrac{dy}{dx} + l(l+1) y = 0 $$
ロドリゲスの公式
次の関数$P_{l}$をLegendre多項式という。
$$ P_{l}(x) = \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} $$
これをロドリゲスの公式という。
説明
定義によると、$P_{n}$は技術的には多項‘関数’だが、慣習的にはLegendre‘多項式’と呼ばれる。これは韓国語だけでなく、英語でもpolynomial functionではなくLegendre polynomialと呼ばれる。
Legendre多項式は、直交性を含む数学的に多くの良い性質を持ち、球面座標系でラプラス方程式の解として現れるため、数学、物理学、工学など様々な分野で使用される。最初の数個のLegendre多項式は次の通りである。
$$ \begin{align*} P_{0}(x) &= 1 \\ P_{1}(x) &= x \\ P_{2}(x) &= \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) &= \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) &= \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ \vdots \end{align*} $$
性質
直交性
区間$[-1,1]$で、Legendre多項式は直交集合を形成する。(リンク)
$$ \int_{-1}^{1} P_{l}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2l+1}\delta_{lm} $$
また、Legendre多項式は、自身より次数が低い多項式と直交する。 $f(x)$を$l$より次数が低い任意の多項式とする。それならば、
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x)dx=0 $$
再帰関係
Legendre多項式は、以下の再帰公式を満たす。(リンク)
$$ (2l+1)P_{l}(x)=P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x) $$
$$ lP_{l}(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) $$
$$ xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x) $$
生成関数
Legendre多項式の生成関数は、以下の通りである。(リンク)
$$ \Phi (x,h)=\frac{1}{\sqrt{1-2xh+h^{2}}},\quad |h|<1 $$
生成関数は定義により、以下の式を満たす。
$$ \Phi (x,h)=P_{0}(x)+hP_{1}(x)+h^{2}P_{2}(x)+\cdots =\sum \limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x) $$