ストーン-ワイエルシュトラスの定理の証明
📂解析学ストーン-ワイエルシュトラスの定理の証明
整理[^1]
補助定義
Xに対して、A⊂C(X)としよう。
- 異なるx1,x2∈Xについて、常にf∈Aが存在してf(x1)=f(x2)を満たすなら、AがXの点を分けるseparateと言う。
- Xがメトリック空間で、全てのε>0とf∈C(X)に対して∣g−f∣<εを満たすg∈Aが存在するなら、AはC(X)で一様に密uniformly denseであると言う。
- C(X)は、定義域がXで値域がRの連続関数のクラスだ。
ストーン-ワイエルシュトラスの定理
Xがコンパクトメトリック空間だとしよう。Aが、定数関数を含むC(X)の代数で、Xの点を分けるなら、AはC(X)で一様に密である。
説明
ストーン-ワイエルシュトラスの定理は、他の関数で連続関数を近似できることを保証する。しかし、この表現は少し抽象的すぎる感じが否めない。よく知られている1次元の多項式に関するストーン-ワイエルシュトラスの定理は、次のステートメントとして書かれる。
ワイエルシュトラス近似定理:fが[a,b]上で連続なら、与えられたϵ>0に対して、x∈[a,b]max∣f(x)−p(x)∣<ϵを満たす多項式p(x)が存在する。
p(x)が存在するという質素な表現も良いが、いま改めてその重要性を考えると、過度に控えめな感じもする。イプシロンϵは一種の許容誤差であるが、厳密にϵの数学的誇張をするならば、「どんな連続関数でも、多項式で表すことができる」と言っても良い。
証明
戦略:決して簡単ではない。F∈C(X)に対して、Aではなく、そのクロージャAで具体的に∣F−G∣<εとなるようなGを見つけ出す。Gを作るには、Aは閉代数だから、良い性質を使用しなければならないし、具体的にそのようなGを見つけた後には、Aのシークエンスを一つだけ提示すれば終わりである。
部分 1. a,b∈R,x1=x2⟹∃f∈A:{f(x1)=af(x2)=b
AはXの点を分けるから、異なるx1,x2に対して、g(x1)=g(x2)を満たすg∈Aが存在する。
代数:次の三つの条件を満たす集合AをC(X)の代数という:
- (i): ∅=A⊂C(X)
- (ii): f,g∈A⟹(f+g),fg∈A
- (iii): f∈A,c∈R⟹cf∈A
f(t):=ag(x1)−g(x2)g(t)−g(x2)+bg(x2)−g(x1)g(t)−g(x1)
Aは定数関数を含む代数なので、値がそれぞれg(x1),g(x2)の定数関数も含んでおり、a,b∈Rに対してfを上述のように定義するとf∈Aであり、t=x1,x2を代入してみるとf(x1)=aでありf(x2)=bである。
部分 2. f1,f2∈A⟹(f1∧f2),(f1∨g2)∈A
∧と∨は、f,g∈C(X)とx∈Xに対して次のことを意味する:
(f∧g)(x):=(f∨g)(x):=min{f(x),g(x)}max{f(x),g(x)}
一様閉包の性質:メトリック空間 Xに対して、A⊂C(X)としよう。Aの全てのシーケンス{fn∈A:n∈N}があるf∈Aに対してn→∞のとき、∣f−fn∣→0ならば、Aが一様にクローズドであるとする。もしXがコンパクトメトリック空間で、Aが定数関数を含みつつ、C(X)の一様にクローズドな代数であれば、次が成立する:
f,g∈A⟹(f∧g),(f∨g)∈A
Aの一様閉包A:={f∈C(X):n→∞lim∣fn−f∣=0,fn∈A}を考えると、Aが代数なので、Aも代数であり、一様閉包の性質によって
f1,f2∈A⟹(f1∧f2),(f1∨f2)∈A
部分 3. ∣F−G∣<2ε
F∈C(X)と2ε>0が与えられたとき、∣F−G∣<2εを満たすG∈Aの存在を証明しようとする。
部分 3-1. gx0(x)<F(x)+2ε
x0∈Xを固定して、y=x0とすると、部分1によって
fy(x0)=fy(y)=F(x0)F(y)
連続関数fy∈A⊂A⊂C(X)が存在する。fyとFが連続関数であるため、
Vy:={x∈X:fy(x)<F(x)+2ε}
はオープンセットであり、
X=y=x0⋃Vy
そして、Xがコンパクトセットであるので、
X=i=1⋃N1Vi
を満たす有限の要素y1,⋯,yN1∈Xが存在する。今、i=1,⋯,N1について
fi:=gy0:=fyif1∧⋯∧fN1
とすると、部分2により、gx0∈Aである。ここにx=x0を代入してみると、
gx0(x0)===f1(x0)∧⋯∧fN1(x0)F(x0)∧⋯∧F(x0)F(x0)
x∈Xなら、xがVy1,⋯,VyN1のいずれかに属するという意味であり、少なくとも一つの1≤k≤N1に対して
fk(x)<F(x)+2ε
が成立し、gx0の定義により、全てのi=1,⋯,N1に対してgx0(x)≤fi(x)であるので、次を得る。
gx0(x)<F(x)+2ε
部分 3-2. F(x)−2ε<G(x)<F(x)+2ε
{Vyi}i=1N1と同様に、Xをカバーするオープンセットの有限コレクション{Wxi}i=1N2を次のように定義しよう。
Wxi:={x∈X:gxi(x)>F(x)−2ε}
部分3-1と同様に、このとき