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ストーン-ワイエルシュトラスの定理の証明 📂解析学

ストーン-ワイエルシュトラスの定理の証明

整理[^1]

補助定義

XXに対して、AC(X)A \subset C(X)としよう。

  1. 異なるx1,x2Xx_{1}, x_{2} \in Xについて、常にfAf \in Aが存在してf(x1)f(x2)f(x_{1}) \ne f(x_{2})を満たすなら、AAXXの点を分けるseparateと言う。
  2. XXメトリック空間で、全てのε>0\varepsilon > 0fC(X)f \in C(X)に対してgf<ε| g - f | < \varepsilonを満たすgAg \in Aが存在するなら、AAC(X)C(X)一様に密uniformly denseであると言う。

ストーン-ワイエルシュトラスの定理

XXコンパクトメトリック空間だとしよう。AAが、定数関数を含むC(X)C(X)代数で、XXの点を分けるなら、AAC(X)C(X)で一様に密である。

説明

ストーン-ワイエルシュトラスの定理は、他の関数で連続関数を近似できることを保証する。しかし、この表現は少し抽象的すぎる感じが否めない。よく知られている11次元の多項式に関するストーン-ワイエルシュトラスの定理は、次のステートメントとして書かれる。

ワイエルシュトラス近似定理ff[a,b][a,b]上で連続なら、与えられたϵ>0\epsilon > 0に対して、maxx[a,b]f(x)p(x)<ϵ\displaystyle \max_{x \in [a,b]} | f(x) - p (x) | < \epsilonを満たす多項式p(x)p(x)が存在する。

p(x)p(x)が存在するという質素な表現も良いが、いま改めてその重要性を考えると、過度に控えめな感じもする。イプシロンϵ\epsilonは一種の許容誤差であるが、厳密にϵ\epsilonの数学的誇張をするならば、「どんな連続関数でも、多項式で表すことができる」と言っても良い。

証明

戦略:決して簡単ではない。FC(X)F \in C(X)に対して、AAではなく、そのクロージャA\overline{A}で具体的にFG<ε| F - G | < \varepsilonとなるようなGGを見つけ出す。GGを作るには、A\overline{A}は閉代数だから、良い性質を使用しなければならないし、具体的にそのようなGGを見つけた後には、AAのシークエンスを一つだけ提示すれば終わりである。


  • 部分 1. a,bR,x1x2    fA:{f(x1)=af(x2)=ba, b \in \mathbb{R} , x_{1} \ne x_{2} \implies \exists f \in A : \begin{cases} f(x_{1}) = a \\ f(x_{2}) = b \end{cases}

    AAXXの点を分けるから、異なるx1,x2x_{1} , x_{2}に対して、g(x1)g(x2)g(x_{1} ) \ne g (x_{2} )を満たすgAg \in Aが存在する。

    代数:次の三つの条件を満たす集合AAC(X)C(X)代数という:

    • (i): AC(X)\emptyset \ne A \subset C(X)
    • (ii): f,gA    (f+g),fgAf,g \in A \implies (f+g) , fg \in A
    • (iii): fA,cR    cfAf \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A

    f(t):=ag(t)g(x2)g(x1)g(x2)+bg(t)g(x1)g(x2)g(x1) f(t) := a {{ g(t) - g(x_{2} ) } \over { g(x_{1} ) - g( x_{2} ) }} + b {{ g(t) - g(x_{1} ) } \over { g(x_{2} ) - g( x_{1} ) }}

    AAは定数関数を含む代数なので、値がそれぞれg(x1),g(x2)g(x_{1}) , g(x_{2})の定数関数も含んでおり、a,bRa, b \in \mathbb{R}に対してffを上述のように定義するとfAf \in Aであり、t=x1,x2t=x_{1} , x_{2}を代入してみるとf(x1)=af(x_{1}) = aでありf(x2)=bf(x_{2} ) = bである。

  • 部分 2. f1,f2A    (f1f2),(f1g2)Af_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies ( f_{1} \land f_{2} ), ( f_{1} \lor g_{2} ) \in \overline{A}

    \land\lorは、f,gC(X)f,g \in C(X)xXx \in Xに対して次のことを意味する: (fg)(x):=min{f(x),g(x)}(fg)(x):=max{f(x),g(x)} \begin{align*} (f \land g) (x) :=& \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} \\ (f \lor g) (x) :=& \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} \end{align*}

    一様閉包の性質メトリック空間 XXに対して、AC(X)A \subset C(X)としよう。AAの全てのシーケンス{fnA:nN}\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}があるfAf \in Aに対してnn \to \inftyのとき、ffn0\displaystyle | f - f_{n} | \to 0ならば、AA一様にクローズドであるとする。もしXXコンパクトメトリック空間で、AAが定数関数を含みつつ、C(X)C(X)の一様にクローズドな代数であれば、次が成立する: f,gA    (fg),(fg)A f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A

    AAの一様閉包A:={fC(X):limnfnf=0,fnA}\displaystyle \overline{A} := \left\{ f \in C(X) : \lim_{n \to \infty} | f_{n} - f | = 0, f_{n} \in A \right\}を考えると、AAが代数なので、A\overline{A}も代数であり、一様閉包の性質によって

    f1,f2A    (f1f2),(f1f2)A f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies (f_{1} \land f_{2}), ( f_{1} \lor f_{2} ) \in \overline{A}

  • 部分 3. FG<ε2\displaystyle | F - G | < {{\varepsilon} \over {2}}

    FC(X)F \in C(X)ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0が与えられたとき、FG<ε2\displaystyle | F - G | < {{\varepsilon} \over {2}}を満たすGAG \in \overline{A}の存在を証明しようとする。

    • 部分 3-1. gx0(x)<F(x)+ε2\displaystyle g_{x_{0}} ( x ) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}

      x0Xx_{0} \in Xを固定して、yx0y \ne x_{0}とすると、部分1によって

      fy(x0)=F(x0)fy(y)=F(y) \begin{align*} f_{y} (x_{0}) =& F ( x_{0} ) \\ f_{y} ( y ) =& F ( y ) \end{align*} 連続関数fyAAC(X)f_{y} \in A \subset \overline{A} \subset C(X)が存在する。fyf_{y}FF連続関数であるため、 Vy:={xX:fy(x)<F(x)+ε2} V_{y} := \left\{ x \in X : f_{y} (x) < F(x) + {{ \varepsilon } \over { 2 }} \right\} はオープンセットであり、 X=yx0Vy X = \bigcup_{y \ne x_{0}} V_{y} そして、XXコンパクトセットであるので、 X=i=1N1Vi X = \bigcup_{i=1}^{N_{1}} V_{i} を満たす有限の要素y1,,yN1Xy_{1} , \cdots , y_{N_{1}} \in Xが存在する。今、i=1,,N1i = 1 , \cdots , N_{1}について fi:=fyigy0:=f1fN1 \begin{align*} f_{i} :=& f_{y_{i}} \\ g_{y_{0}} :=& f_{1} \land \cdots \land f_{N_{1}} \end{align*} とすると、部分2により、gx0Ag_{x_{0}} \in \overline{A}である。ここにx=x0x = x_{0}を代入してみると、 gx0(x0)=f1(x0)fN1(x0)=F(x0)F(x0)=F(x0) \begin{align*} g_{x_{0}} ( x_{0} ) =& f_{1} ( x_{0} ) \land \cdots \land f_{N_{1}} ( x_{0} ) \\ =& F ( x_{0} ) \land \cdots \land F ( x_{0} ) \\ =& F ( x_{0} ) \end{align*} xXx \in Xなら、xxVy1,,VyN1V_{y_{1}} , \cdots , V_{y_{N_{1}}}のいずれかに属するという意味であり、少なくとも一つの1kN11 \le k \le N_{1}に対して fk(x)<F(x)+ε2 f_{k} (x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}} が成立し、gx0g_{x_{0}}の定義により、全てのi=1,,N1i = 1, \cdots , N_{1}に対してgx0(x)fi(x)g_{x_{0}} ( x ) \le f_{i} (x)であるので、次を得る。 gx0(x)<F(x)+ε2 g_{x_{0}} ( x ) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}

    • 部分 3-2. F(x)ε2<G(x)<F(x)+ε2\displaystyle F(x) - {{\varepsilon} \over {2}} < G(x) < F(x) + {{\varepsilon} \over {2}}

      {Vyi}i=1N1\left\{ V_{y_{i}} \right\}_{i=1}^{N_{1}}と同様に、XXをカバーするオープンセットの有限コレクション{Wxi}i=1N2\left\{ W_{x_{i}} \right\}_{i=1}^{N_{2}}を次のように定義しよう。 Wxi:={xX:gxi(x)>F(x)ε2} W_{x_{i}} := \left\{ x \in X : g_{x_{i}} (x) > F(x) - {{ \varepsilon } \over { 2 }} \right\} 部分3-1と同様に、このとき