📂動力学

力学における不変集合

定義

厳密な定義 ¹

動力学系 $\left( T, X , \varphi^{t} \right)$ で 部分集合 $S \subset X$ が以下を満たす場合、$S$ を 不変集合^{invariant set}という。 $$ x_{0} \in S \implies \varphi^{t} x_{0} \in S \qquad , \forall t \in T $$

ベクトル場とマップ ²

空間 $X$ と関数 $f,g : X \to X$ に対して ベクトル場 または マップ が次のように表現されたとする。 $$ \dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$ $S \subset X$ とする。

• (V): $\forall x_{0} \in S$ がすべての $t \in \mathbb{R}$ に対して以下を満たす場合、ベクトル場 $\dot{x}=f(x)$ における 不変集合という。 $$ x(t,x_{0}) \in S $$
• (M): $\forall x_{0} \in S$ がすべての $n \in \mathbb{Z}$ に対して以下を満たす場合、マップ $x \mapsto g(x)$ における 不変集合という。 $$ g^{n} (x_{0}) \in S $$

不変集合は条件に応じて次のように呼ばれることもある。

1. 不変集合 $S$ の時間が $t \ge 0$ または $n \ge 0$ までのみ考慮される場合、正不変集合^{positively invariant set}といい、逆に $t \le 0$ または $n \le 0$ までのみ考慮される場合、負不変集合^{negatively invariant set}という。
2. 不変集合 $S$ が $C^{r}$ 微分可能な 多様体の構造を成している場合、$C^{r}$ 不変多様体という。

説明

不変集合とは、過去の時間であれ未来の時間であれ、そこから外れることができない集合のことを指す。過去の時間で外れることができないということは、言い換えれば不変集合の外部からの侵入が許されないということである。すべての時間 $\mathbb{R}$ が考慮されるため、「動き」のような動的な形を想像するのではなく、すでに決定された「空間」を想像するのが望ましい。

多様体が言及されるだけでなく、その空間自体を探求するという点から、位相数学との関連性を思い浮かべる人も多いだろうが、歴史的にも動力学と位相数学は同じ起源から出ているため、互いに馴染みのあるものが頻繁に出てくるのは避けられない。両方に大きな貢献を残した学者には、「ポアンカレ予想」で有名な アンリ・ポアンカレ^{Henri Poincaré}がいるが、そもそも当時はこれらが区別されていなかったため、両方に業績を残したという表現は適切でないかもしれない。1900年代初頭は位相数学と動力学の胎動期であり、ポアンカレのような学者によって発展した理論がそれぞれの関心に従って分化したと見なければならない。

与えられたシステムで不変集合の存在を見つけるメジャーな方法としては、アダマール法^{Hadamard’s method}と リヤプノフ-ペロン法^{Liapunov-Perron method}の二つがあり、その安定性や微分可能性などについても多くの関心が寄せられている。