📂전자기학

전위의 다중극 전개와 쌍극자 모멘트

다중극 전개¹

모여있는 전하분포를 충분히 멀리서 바라보면 마치 점전하 처럼 보일 것이다. 다시말해 전하분포의 총 전하량이 $Q$라면 이를 아주 멀리서 바라봤을 때 마치 전하량이 $Q$인 점전하 하나가 있는 것과 비슷하게 느껴질것이다. 그러면 전위를 $\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{r}$라고 해도 얼추 비슷할거라는 말이 된다.

그런데 만약 총 전하량이 $0$이라면 전위를 $0$으로 근사시키는게 맞냐는 질문이 생긴다. 다중극 전개는 총 전하량이 $0$일 경우에 전위를 어떻게 근사식으로 표현하는지에 대한 해답이다. 전위 $V(\mathbf{r})$을 $\dfrac{1}{r^{n}}$에 대한 급수로 표현하는 것을 다중극 전개^{multipole expansion}라고 한다.

위치 $\mathbf{r}$에서의 전위는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int \dfrac{1}{\cR}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} \label{1} \end{equation} $$

이때 $\bcR = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime} (\cR = \left| \bcR \right|)$은 분리벡터이다.

$\cR$의 크기를 구하기 위해 제2코사인법칙을 쓰면

$$ \begin{align*} \cR ^2 =&\ r^2+(r^{\prime})^2-2rr^{\prime}\cos\alpha \\ =&\ r^2\left[1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2-2\dfrac{r^{\prime}}{r}\cos\alpha\right] \\ =&\ r^2\left[1+\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha\right)\right] \end{align*} $$

편의를 위해 각괄호 안의 두번째 항을 통째로 $\epsilon=\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)$라고 치환하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \cR=r\sqrt{1+\epsilon} \implies \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2} $$

이때 $\mathbf{r}$이 전하분포로부터 아주 멀리 떨어진 곳이라면 $\dfrac{r^{\prime}}{r}$은 굉장히 작은 값이되고 $\epsilon \ll 1$이 성립한다.

이항급수

$|x| < 1$ 이면,

$$ (1 + x )^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^{3} + \cdots $$

따라서 $(1+\epsilon)^{-1/2}$을 이항급수로 풀어낼 수 있다.

$$ \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2} = \dfrac{1}{r}\left( 1- \dfrac{1}{2}\epsilon+\dfrac{3}{8}\epsilon ^2 -\dfrac{5}{16}\epsilon ^3 +\cdots \right) $$

$\epsilon$를 다시 원래대로 적으면

$$ \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\left[ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) ^3 +\cdots \right] $$

이를 $\dfrac{r^{\prime}}{r}$의 각 차수에 맞춰서 정리하면 아래와 같다. 자세한 과정은 부록을 참고하자.

$$ \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\left[ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\left( \cos\alpha \right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) +\cdots \right] $$

여기서 각괄호는 급수 $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^n$ 꼴로 표현할 수 있다. 이때 각각의 계수 $a_{n}$은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} a_{0} =&\ 1 \\ a_{1} =&\ \cos\alpha \\ a_{2} =&\ \dfrac{3\cos^2\alpha-1}{2} \\ a_{3} =&\ \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) \\ \vdots & \end{align*} $$

이는 $\cos\alpha$에 대한 르장드르 다항식 $P_{n}(\cos \alpha)$와 같다. 따라서 정리하면

$$ \dfrac{1}{\cR}=\dfrac{1}{r}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^n P_{n}(\cos\alpha) $$

이를 전위 공식 $\eqref{1}$에 대입하고 적분과 상관없는 $r$을 밖으로 빼내면 다음을 얻는다.

$$ V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{r^{n+1}} \int (r^{\prime})^nP_{n}(\cos\alpha) \rho (\mathbf{r}^{\prime}) d\tau^{\prime} $$

이 급수를 다시 전개하면

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \bigg[ &\dfrac{1}{r} \int r^{\prime}\cos\alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} \\ &+ \dfrac{1}{r^2}\int r^{\prime}\cos\alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} + \dfrac{1}{r^3}\int(r^{\prime})^2\dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} + \cdots \bigg] \end{align*} $$

첫번째 항은 홀극에 의해 생기는 전위, 두번째 항은 쌍극자에 의해 생기는 전위, 세번째 항은 사중극자에 의해 생기는 전위이다. $n$번째 항은 각각 $2^{n-1}$극자항과 관련되어있다.

쌍극자항과 쌍극자 모멘트

다중극 전개식은 $r$의 역수에 대한 급수이므로 대게 $r$이 클 때 홀극 항이 가장 크다. mono는 홀극^{monopole, 모노폴} 의 약자이다.

$$ V_{\text{mono}}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q}{r} $$

만약 모여있는 전하들의 총 전하가 $0$이라면 홀극항은 $0$이다. 그 외의 경우 $+$와 $-$가 짝을 이루어 $0$이 될 수 있지만 홀극항은 하나라 그럴 수 없기 때문이다. 따라서 이때 쌍극자항이 $0$이 아니라면 쌍극자항이 가장 크다. dip는 쌍극자^{dipole, 다이폴}의 약자이다.

$$ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{1}{r^2}\int r^{\prime} \cos \alpha \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} $$

여기서 $\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}^{\prime}=r^{\prime}\cos\alpha$이므로

$$ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\cdot\int \mathbf{r}^{\prime} \rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} $$

이 적분값은 $\mathbf{r}$과 무관하며 특별히 이름을 붙여 전하분포의 쌍극자 모멘트^{dipole moment}라 하고 $\mathbf{p}$로 나타낸다.

$$ \mathbf{p}=\int\mathbf{r}^{\prime}\rho (\mathbf{r}^{\prime})d\tau^{\prime} $$

쌍극자 모멘트를 써서 쌍극자의 전위를 간단하게 나타낼 수 있다.

$$ V_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}} } {r^2} $$

부록

$$ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^{2} \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right)^3 +\cdots $$

위의 식의 제곱항, 세제곱항을 풀어서 쓰면

$$ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{r^{\prime}}{r}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\alpha \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left[ \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2-\dfrac{4r^{\prime}\cos\alpha}{r}+4\cos^2\alpha \right] $$

$$ -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left[ \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 -3\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^22\cos\alpha + 3\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)4\cos^2\alpha-8\cos^3\alpha \right] +\cdots $$

이제 $\dfrac{r^{\prime}}{r}$의 차수에 맞춰서 정리하면

$$ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\cos\alpha +\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^2\left(-\dfrac{1}{2} +\dfrac{3}{2}\cos^2\alpha \right)+\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^3 \left( -\dfrac{3}{2}\cos\alpha +\dfrac{5}{2}\cos^3\alpha \right) + \cdots $$

이를 정리하면

$$ 1+\left(\dfrac{r^{\prime}}{r}\right)\left( \cos\alpha \right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^2 \left( \dfrac{3\cos^2\alpha -1 }{2}\right) +\left( \dfrac{r^{\prime}}{r}\right)^3 \left( \dfrac{5\cos^2\alpha-3\cos\alpha}{2} \right) +\cdots $$