직교함수와 직교집합
정의
내적
구간 $[a,b]$에서 정의된 두 함수 $f$, $g$의 내적inner product을 다음과 같이 정의한다.
$$ \braket{f , g} := \int_{a}^b f(x) g(x) dx $$
$f, g$가 복소 함수일 경우에는,
$$ \braket{f, g} := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx $$
이때 $\overline{z}$는 $z$의 켤레 복소수이다.
직교함수
두 복소 함수 $f$, $g$가 아래의 식을 만족하면 $f$, $g$는 구간 $[a,b]$에서 직교한다고 한다.
$$ \braket{f, g} = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx = 0 $$
위에서 두 함수의 내적을 적분으로 정의했으니 적분값이 $0$이 될 때 직교한다고 말하는 것은 자연스럽다.
직교 집합
함수 $\phi_{1}$, $\phi_2$, $\phi_{3}$, $\dots$가 다음의 식을 만족하면 이 함수들의 집합 $\left\{\phi_{i}\right\}$를 직교집합orthogonal set이라 한다.
$$ \braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx = 0 \quad (m\ne n) $$
정규화
함수 $f$의 놈을 다음과 같이 정의한다.
$$ \left\| f \right\| := \sqrt{\braket{f, f}} = \left( \int_{a}^b \left| f(x) \right| ^2 dx \right) ^{ \frac{1}{2} } $$
임의의 함수 $f$에 대해서 적절한 상수를 곱하여 $f$의 놈이 $1$이 되도록 하는 것을 정규화normalize라고 한다. 함수 $f$를 정규화한 함수 $f_{\text{normal}}$은,
$$ f_{\mathrm{normal}} = \frac{1}{ \left\| f \right\| }f $$
정규직교집합
직교집합 $\left\{ \phi_{1}, \phi_{2}, \cdots \right\}$의 모든 원소가 정규화된 함수이면, 그 집합을 정규직교집합orthonomal set이라 한다. 즉 모든 $n, m$에 대해서 다음을 만족하면 정규직교집합이다.
$$ \braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx=\delta_{mn} $$
여기서 $\delta_{mn}$은 크로네커 델타 이다.
설명
예를 들어 3차원 데카르트 좌표계에서 $\left\{ \hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} \right\}$는 정규직교집합이다.