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직교함수와 직교집합

정의

내적

구간 $[a,b]$에서 정의된 두 함수 $f$, $g$의 내적^{inner product}을 다음과 같이 정의한다.

$$\braket{f , g} := \int_{a}^b f(x) g(x) dx$$

$f, g$가 복소 함수일 경우에는,

$$\braket{f, g} := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx$$

이때 $\overline{z}$는 $z$의 켤레 복소수이다.

직교함수

두 복소 함수 $f$, $g$가 아래의 식을 만족하면 $f$, $g$는 구간 $[a,b]$에서 직교한다고 한다.

$$\braket{f, g} = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx = 0$$

위에서 두 함수의 내적을 적분으로 정의했으니 적분값이 $0$이 될 때 직교한다고 말하는 것은 자연스럽다.

직교 집합

함수 $\phi_{1}$, $\phi_2$, $\phi_{3}$, $\dots$가 다음의 식을 만족하면 이 함수들의 집합 $\left\{\phi_{i}\right\}$를 직교집합^{orthogonal set}이라 한다.

$$\braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx = 0 \quad (m\ne n)$$

정규화

함수 $f$의 놈을 다음과 같이 정의한다.

$$\left\| f \right\| := \sqrt{\braket{f, f}} = \left( \int_{a}^b \left| f(x) \right| ^2 dx \right) ^{ \frac{1}{2} }$$

임의의 함수 $f$에 대해서 적절한 상수를 곱하여 $f$의 놈이 $1$이 되도록 하는 것을 정규화^normalize라고 한다. 함수 $f$를 정규화한 함수 $f_{\text{normal}}$은,

$$f_{\mathrm{normal}} = \frac{1}{ \left\| f \right\| }f$$

정규직교집합

직교집합 $\left\{ \phi_{1}, \phi_{2}, \cdots \right\}$의 모든 원소가 정규화된 함수이면, 그 집합을 정규직교집합^{orthonomal set}이라 한다. 즉 모든 $n, m$에 대해서 다음을 만족하면 정규직교집합이다.

$$\braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx=\delta_{mn}$$

여기서 $\delta_{mn}$은 크로네커 델타 이다.

설명

예를 들어 3차원 데카르트 좌표계에서 $\left\{ \hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} \right\}$는 정규직교집합이다.