르장드르 다항함수의 로드리게스 공식
공식
르장드르 다항식의 명시적explicit 공식은 다음과 같다.
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} \tag{1} $$
설명
$l$번째 르장드르 다항식을 얻는 공식이며, 이를 로드리게스 공식이라 한다. 본래는 르장드르 다항식의 명시적 꼴을 나타내는 말이었으나, 이후에는 다항식으로 표현되는 특수함수들의 명시적 꼴을 나타내는 공식의 보편적인 명칭이 되었다.
유도
르장드르 다항식 $P_{l}$은 아래와 같은 르장드르 미분방정식의 해를 말한다.
$$ (1 - x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2x \dfrac{d y}{d x} + l(l+1)y = 0 $$
따라서 $(1)$이 위 미분방정식의 해가 됨을 보이면 증명이 끝난다.
우선 $v=(x^2-1)^l$이라고 했을 때 $\dfrac{d^lv}{dx^l}$가 르장드르 방정식의 해가 됨을 보일 것이다. 후에 $P_{l}(1) = 1$을 만족하도록 정규화를 하여 $(1)$을 얻는다.
$$ \dfrac{dv}{dx}=l(2x)(x^2-1)^{l-1} $$
양 변에 $(x^2-1)$을 곱하면 아래의 식을 얻는다.
$$ (x^2-1)\dfrac{dv}{dx}=2lx(x^2-1)^l=2lxv $$
양 변을 $l+1$번 미분하면 라이프니츠 규칙에 의해 다음과 같다.
$$ \sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C}_{k} \dfrac{ d^{l+1-k}}{dx^{l+1-k} } \left( \dfrac{dv}{dx} \right) \dfrac{d^k}{dx^k} (x^2-1) = 2l\sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{l+1-k} v}{dx^{l+1-k}} \dfrac{d^k x}{dx^k} $$
이 때 좌변은 $k \ge 3$일 때 $\dfrac{d^k}{dx^k}(x^2-1)=0$이므로 $k=0,2,3$인 항만 남는다. 우변은 $k \ge 2$일 때 $\dfrac{d^kx}{dx^k}=0$이므로 $k=1,2$인 항만 남는다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ (x^2-1)\dfrac{d^{l+2} v}{dx^{l+2}} + (l+1)(2x)\dfrac{d^{l+1}v}{dx^{l+1}}+\dfrac{l(l+1)}{2!}2\dfrac{d^l v}{dx^l}=2lx\dfrac{d^{l+1} v}{dx^{l+1}} + 2l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l} $$
같은 계수항끼리 묶어서 잘 정리하면 아래와 같다.
$$ (1-x^2)\left( \dfrac{d^l v}{dx^l} \right)^{\prime \prime} -2x\left( \dfrac{d^lv}{dx^l} \right)^{\prime} + l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l}=0 $$
이는 르장드르 방정식과 같은 모양이다. 즉, $\dfrac{d^l v}{dx^l}$이 르장드르 방정식의 해가 된다.
$$ P_{l}(x)= \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
$P_{l}(1) = 1$을 만족하는 계수를 구해보자. $(x^2-1)^l$을 $(x-1)^l(x+1)^l$로 인수분해하고 라이프니츠 규칙으로 $l$번 미분하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} &\quad \ P_{l}(x) \\ &= \dfrac{d^l}{dx^l} \left[ (x-1)^l (x+1)^l \right] \\ &= \sum\limits_{k=0}^l {}_{l}\mathrm{C}_{k} \dfrac{d^{l-k}}{dx^{l-k}}(x-1)^l \dfrac{d^k}{dx^k}(x+1)^l \\ &= {}_{l}\mathrm{C}_{0} l! (x+1)^l + {}_{l}\mathrm{C}_{1} l!(x-1) l(x+1)^{l-1}+{}_{l}\mathrm{C}_2\dfrac{l!}{2}(x-1)^2l(l-1)(x+1)^{l-2}+\cdots \end{align*} $$
2번째 항부터는 인수로 $(x-1)$을 포함하기 때문에 $x=1$일 때 $0$이다. 그러므로 $P_{l}(1)=l! 2^l$이고 이 값이 $1$이 되기 위해선 $\dfrac{1}{2^l l!}$만큼 나눠주면 된다. 따라서 최종적으로 아래와 같은 로드리게스 공식을 얻는다.
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
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