logo

르장드르 다항식의 로드리게스 공식 📂함수

르장드르 다항식의 로드리게스 공식

공식

르장드르 다항식의 명시적explicit 공식은 다음과 같다.

Pl(x)=12ll!dldxl(x21)l(1) P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l} \tag{1}

설명

ll번째 르장드르 다항식을 얻는 공식이며, 이를 로드리게스 공식이라 한다. 본래는 르장드르 다항식의 명시적 꼴을 나타내는 말이었으나, 이후에는 다항식으로 표현되는 특수함수들의 명시적 꼴을 나타내는 공식의 보편적인 명칭이 되었다.

유도

르장드르 다항식 PlP_{l}은 아래와 같은 르장드르 미분방정식의 해를 말한다.

(1x2)d2ydx22xdydx+l(l+1)y=0 (1 - x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2x \dfrac{d y}{d x} + l(l+1)y = 0

따라서 (1)(1)이 위 미분방정식의 해가 됨을 보이면 증명이 끝난다.

우선 v=(x21)lv=(x^2-1)^l이라고 했을 때 dlvdxl\dfrac{d^lv}{dx^l}가 르장드르 방정식의 해가 됨을 보일 것이다. 후에 Pl(1)=1P_{l}(1) = 1을 만족하도록 정규화를 하여 (1)(1)을 얻는다.

dvdx=l(2x)(x21)l1 \dfrac{dv}{dx}=l(2x)(x^2-1)^{l-1}

양 변에 (x21)(x^2-1)을 곱하면 아래의 식을 얻는다.

(x21)dvdx=2lx(x21)l=2lxv (x^2-1)\dfrac{dv}{dx}=2lx(x^2-1)^l=2lxv

양 변을 l+1l+1번 미분하면 라이프니츠 규칙에 의해 다음과 같다.

k=0l+1l+1Ckdl+1kdxl+1k(dvdx)dkdxk(x21)=2lk=0l+1l+1Ckdl+1kvdxl+1kdkxdxk \sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C}_{k} \dfrac{ d^{l+1-k}}{dx^{l+1-k} } \left( \dfrac{dv}{dx} \right) \dfrac{d^k}{dx^k} (x^2-1) = 2l\sum \limits_{k=0}^{l+1} {}_{l+1}\mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{l+1-k} v}{dx^{l+1-k}} \dfrac{d^k x}{dx^k}

이 때 좌변은 k3k \ge 3일 때 dkdxk(x21)=0\dfrac{d^k}{dx^k}(x^2-1)=0이므로 k=0,2,3k=0,2,3인 항만 남는다. 우변은 k2k \ge 2일 때 dkxdxk=0\dfrac{d^kx}{dx^k}=0이므로 k=1,2k=1,2인 항만 남는다. 따라서 다음을 얻는다.

(x21)dl+2vdxl+2+(l+1)(2x)dl+1vdxl+1+l(l+1)2!2dlvdxl=2lxdl+1vdxl+1+2l(l+1)dlvdxl (x^2-1)\dfrac{d^{l+2} v}{dx^{l+2}} + (l+1)(2x)\dfrac{d^{l+1}v}{dx^{l+1}}+\dfrac{l(l+1)}{2!}2\dfrac{d^l v}{dx^l}=2lx\dfrac{d^{l+1} v}{dx^{l+1}} + 2l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l}

같은 계수항끼리 묶어서 잘 정리하면 아래와 같다.

(1x2)(dlvdxl)2x(dlvdxl)+l(l+1)dlvdxl=0 (1-x^2)\left( \dfrac{d^l v}{dx^l} \right)^{\prime \prime} -2x\left( \dfrac{d^lv}{dx^l} \right)^{\prime} + l(l+1)\dfrac{d^lv}{dx^l}=0

이는 르장드르 방정식과 같은 모양이다. 즉, dlvdxl\dfrac{d^l v}{dx^l}이 르장드르 방정식의 해가 된다.

Pl(x)=dldxl(x21)l P_{l}(x)= \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l

Pl(1)=1P_{l}(1) = 1을 만족하는 계수를 구해보자. (x21)l(x^2-1)^l(x1)l(x+1)l(x-1)^l(x+1)^l로 인수분해하고 라이프니츠 규칙으로 ll번 미분하면 다음과 같다.

 Pl(x)=dldxl[(x1)l(x+1)l]=k=0llCkdlkdxlk(x1)ldkdxk(x+1)l=lC0l!(x+1)l+lC1l!(x1)l(x+1)l1+lC2l!2(x1)2l(l1)(x+1)l2+ \begin{align*} &\quad \ P_{l}(x) \\ &= \dfrac{d^l}{dx^l} \left[ (x-1)^l (x+1)^l \right] \\ &= \sum\limits_{k=0}^l {}_{l}\mathrm{C}_{k} \dfrac{d^{l-k}}{dx^{l-k}}(x-1)^l \dfrac{d^k}{dx^k}(x+1)^l \\ &= {}_{l}\mathrm{C}_{0} l! (x+1)^l + {}_{l}\mathrm{C}_{1} l!(x-1) l(x+1)^{l-1}+{}_{l}\mathrm{C}_2\dfrac{l!}{2}(x-1)^2l(l-1)(x+1)^{l-2}+\cdots \end{align*}

2번째 항부터는 인수로 (x1)(x-1)을 포함하기 때문에 x=1x=1일 때 00이다. 그러므로 Pl(1)=l!2lP_{l}(1)=l! 2^l이고 이 값이 11이 되기 위해선 12ll!\dfrac{1}{2^l l!}만큼 나눠주면 된다. 따라서 최종적으로 아래와 같은 로드리게스 공식을 얻는다.

Pl(x)=12ll!dldxl(x21)l P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l