📂행렬대수

행렬의 지수와 로그

정의

지수함수 $\exp$ 와 로그 함수 $\log$ 를 행렬에 대해 일반화하려 한다.

행렬 지수

지수함수를 행렬에 대해 일반화한 $\exp : \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$ 은 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 에 대해 다음과 같이 정의된다. $$ \exp A := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} $$ $\exp A$ 는 간단히 $e^{A}$ 로도 나타내며, $A$ 의 행렬 지수^{matrix exponential}라 한다.

행렬 로그

로그함수를 행렬에 대해 일반화한 $\log : \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}$ 은 $\exp A = B$ 를 만족하는 행렬 $A$ 와 $B$ 가 존재할 때 $A$ 를 $\log B$ 라 나타내며, $A$ 를 $B$ 의 행렬 로그^{matrix logarithm}라 한다.

정리 ¹

만약 두 행렬 $A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 가 $AB = BA$ 를 만족하면, 다음이 성립한다. $$ \log AB = \log A + \log B - 2 \pi i \mathcal{U} \left( \log A + \log B \right) $$ 특히 $A$ 의 고유값 $\mu_{k}$ 와 $B$ 의 고유값 $\nu_{k}$ 에 대해 다음의 따름정리를 얻을 수 있다. $$ \log AB = \log A + \log B \iff \forall k = 1 , \cdots , n : \arg \mu_{k} + \arg \nu_{k} \in ( - \pi , \pi ] $$ 여기서 $\arg$ 는 복소수의 편각, $\mathcal{U}$ 는 다음과 같이 정의된 행렬 언와인딩 함수^{matrix unwinding function}이다. $$ \mathcal{U} (A) := {\frac{ A - \log e^{A} }{ 2 \pi i }} \qquad , A \in \mathbb{C}^{n \times n} $$

설명

행렬 지수와 로그는 복소수에서 정의되는 지수와 로그를 형식적으로 확장한 것이다. 보다시피 행렬 지수는 행렬의 멱급수를 이용하여 정의한다.

에르미트와 양정부호 행렬의 공간에서

에르미트와 양정부호 행렬의 공간:

• 에르미트 행렬 공간: 크기가 $n \times n$ 인 에르미트행렬의 집합을 다음과 같이 나타낸다. 스칼라 필드 $\mathbb{R}$ 에 대해 $\mathbb{H}_{n}$ 은 벡터공간이다. $$ \mathbb{H}_{n} := \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\} $$
• 양정부호 행렬 집합: 크기가 $n \times n$ 인 양정부호 행렬의 집합을 $\mathbb{P}_{n}$ 과 같이 나타낸다. $\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}$ 은 $\mathbb{H}_{n}$ 의 컨벡스 콘이다.

모든 행렬의 공간이 아니라, 에르미트 행렬 공간 $\mathbb{H}_{n}$ 이 정의역이고 양정부호 행렬의 컨벡스 콘 $\mathbb{P}_{n}$ 이 공역인 $\exp : \mathbb{H}_{n} \to \mathbb{P}_{n}$ 은 전단사고, 그 역함수는 $\log : \mathbb{P}_{n} \to \mathbb{H}_{n}$ 이다. 특히 이들은 미분동형사상이다.

같이 보기

• 행렬함수, 행렬 지수함수의 정의