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행렬의 지수와 로그 📂행렬대수

행렬의 지수와 로그

정의

지수함수 exp\exp로그 함수 log\log행렬에 대해 일반화하려 한다.

행렬 지수

지수함수를 행렬에 대해 일반화한 exp:Cn×nCn×n\exp : \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n} 은 행렬 ACn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n} 에 대해 다음과 같이 정의된다. expA:=k=0Akk! \exp A := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} expA\exp A 는 간단히 eAe^{A} 로도 나타내며, AA행렬 지수matrix exponential라 한다.

행렬 로그

로그함수를 행렬에 대해 일반화한 log:Cn×nCn×n\log : \mathbb{C}^{n \times n} \to \mathbb{C}^{n \times n}expA=B\exp A = B 를 만족하는 행렬 AABB 가 존재할 때 AAlogB\log B 라 나타내며, AABB행렬 로그matrix logarithm라 한다.

정리 1

만약 두 행렬 A,BCn×nA, B \in \mathbb{C}^{n \times n}AB=BAAB = BA 를 만족하면, 다음이 성립한다. logAB=logA+logB2πiU(logA+logB) \log AB = \log A + \log B - 2 \pi i \mathcal{U} \left( \log A + \log B \right) 특히 AA고유값 μk\mu_{k}BB 의 고유값 νk\nu_{k} 에 대해 다음의 따름정리를 얻을 수 있다. logAB=logA+logB    k=1,,n:argμk+argνk(π,π] \log AB = \log A + \log B \iff \forall k = 1 , \cdots , n : \arg \mu_{k} + \arg \nu_{k} \in ( - \pi , \pi ] 여기서 arg\arg복소수의 편각, U\mathcal{U} 는 다음과 같이 정의된 행렬 언와인딩 함수matrix unwinding function이다. U(A):=AlogeA2πi,ACn×n \mathcal{U} (A) := {\frac{ A - \log e^{A} }{ 2 \pi i }} \qquad , A \in \mathbb{C}^{n \times n}

설명

행렬 지수와 로그는 복소수에서 정의되는 지수와 로그를 형식적으로 확장한 것이다. 보다시피 행렬 지수는 행렬의 멱급수를 이용하여 정의한다.

에르미트와 양정부호 행렬의 공간에서

에르미트와 양정부호 행렬의 공간:

  • 에르미트 행렬 공간: 크기가 n×nn \times n에르미트행렬집합을 다음과 같이 나타낸다. 스칼라 필드 R\mathbb{R} 에 대해 Hn\mathbb{H}_{n}벡터공간이다. Hn:={ACn×n:A=A} \mathbb{H}_{n} := \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\}
  • 양정부호 행렬 집합: 크기가 n×nn \times n양정부호 행렬의 집합을 Pn\mathbb{P}_{n} 과 같이 나타낸다. PnHn\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}Hn\mathbb{H}_{n}컨벡스 콘이다.

모든 행렬의 공간이 아니라, 에르미트 행렬 공간 Hn\mathbb{H}_{n} 이 정의역이고 양정부호 행렬의 컨벡스 콘 Pn\mathbb{P}_{n} 이 공역인 exp:HnPn\exp : \mathbb{H}_{n} \to \mathbb{P}_{n}전단사고, 그 역함수는 log:PnHn\log : \mathbb{P}_{n} \to \mathbb{H}_{n} 이다. 특히 이들은 미분동형사상이다.

HP.png

같이 보기


  1. Aprahamian, M., & Higham, N. J. (2014). The matrix unwinding function, with an application to computing the matrix exponential. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 35(1), 88-109. https://doi.org/10.1137/130920137 Lemma 3.12 ↩︎