행렬의 지수와 로그
📂행렬대수행렬의 지수와 로그
정의
지수함수 exp 와 로그 함수 log 를 행렬에 대해 일반화하려 한다.
행렬 지수
지수함수를 행렬에 대해 일반화한 exp:Cn×n→Cn×n 은 행렬 A∈Cn×n 에 대해 다음과 같이 정의된다.
expA:=k=0∑∞k!Ak
expA 는 간단히 eA 로도 나타내며, A 의 행렬 지수matrix exponential라 한다.
행렬 로그
로그함수를 행렬에 대해 일반화한 log:Cn×n→Cn×n 은 expA=B 를 만족하는 행렬 A 와 B 가 존재할 때 A 를 logB 라 나타내며, A 를 B 의 행렬 로그matrix logarithm라 한다.
정리
만약 두 행렬 A,B∈Cn×n 가 AB=BA 를 만족하면, 다음이 성립한다.
logAB=logA+logB−2πiU(logA+logB)
특히 A 의 고유값 μk 와 B 의 고유값 νk 에 대해 다음의 따름정리를 얻을 수 있다.
logAB=logA+logB⟺∀k=1,⋯,n:argμk+argνk∈(−π,π]
여기서 arg 는 복소수의 편각, U 는 다음과 같이 정의된 행렬 언와인딩 함수matrix unwinding function이다.
U(A):=2πiA−logeA,A∈Cn×n
설명
행렬 지수와 로그는 복소수에서 정의되는 지수와 로그를 형식적으로 확장한 것이다. 보다시피 행렬 지수는 행렬의 멱급수를 이용하여 정의한다.
에르미트와 양정부호 행렬의 공간에서
에르미트와 양정부호 행렬의 공간:
- 에르미트 행렬 공간: 크기가 n×n 인 에르미트행렬의 집합을 다음과 같이 나타낸다. 스칼라 필드 R 에 대해 Hn 은 벡터공간이다.
Hn:={A∈Cn×n:A=A∗}
- 양정부호 행렬 집합: 크기가 n×n 인 양정부호 행렬의 집합을 Pn 과 같이 나타낸다. Pn⊂Hn 은 Hn 의 컨벡스 콘이다.
모든 행렬의 공간이 아니라, 에르미트 행렬 공간 Hn 이 정의역이고 양정부호 행렬의 컨벡스 콘 Pn 이 공역인 exp:Hn→Pn 은 전단사고, 그 역함수는 log:Pn→Hn 이다. 특히 이들은 미분동형사상이다.

같이 보기