📂추상대수

군의 작용

정의 ¹

항등원이 $e$ 인 군 $G$ 와 집합 $X$ 에 대해 다음의 두 조건을 만족하는 이항연산 $\ast : G \times X \to X$ 를 $X$ 상에서 $G$ 의 작용^action이라 하고 $X$ 를 $G$-집합이라고 부른다.

• (i): 모든 $x \in X$ 에 대해 $ex = x$
• (ii): 모든 $x \in X$ 와 $g_{1} , g_{2} \in G$ 에 대해 $( g_{1} g_{2} ) (x) = g_{1} (g_{2} x)$

설명

군의 작용은 한마디로 ‘$x \in X$ 에다 $g \in G$ 를 가한다’는 말이다. 직관적으로 이해할만한 예시로 다음과 같은 그림을 생각해보자:

$$X : = \left\{ C, 1,2,3,4 , p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} , s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} , d_{1}, d_{2} , m_{1} , m_{2} \right\}$$ 위와 같은 집합 $X$ 에 대해 정이면체군 $D_{4}$ 을 생각해보자. 정사각형에서 떠올릴 수 있는 선분과 점들의 집합인 $X$ 는 뒤집고 회전시키는 $D_{4}$ 에 의해 위치가 바뀔 수 있어 $D_{4}$-집합이다. 이렇게 $X$ 에 변화를 주는 조작을 작용이라 부르는 것은 굉장히 상식적이고 타당하다 할 수 있을 것이다.

참고로 $X$ 는 딱히 군일 필요도 없고 $G$ 와 관계가 없을 수도 있다. 예를 들어 $\mathbb{Z}$ 와 $$X:= \left\{ \cdots , - {{3} \over {2}} , - {{1} \over {2}}, {{1} \over {2}} , {{3} \over {2}} , \cdots \right\}$$ 를 생각해보면 $\left< X , + \right>$ 는 군이 되지도 못하고 아직 $G = \mathbb{Z}$ 와 아무런 관계도 없다. 그런데 $z \in \mathbb{Z}$ 와 $x \in X$ 에 대해 $\ast : \mathbb{Z} \times X \to X$ 가 $z * x = z + x$ 로 정의된다면

• (i): $0 + x = x$ 이고
• (ii): $(z_{1} + z_{2}) + x = z_{1} + (z_{2} + x)$ 이므로 연산 $\ast$ 는 $X$ 상에서의 작용이 되고, $X$ 는 $\mathbb{Z}$-집합이다.