📂抽象代数

群の作用

定義 ¹

単位元が $e$ である 群 $G$ と集合 $X$ に対して、次の二つの条件を満たす $\ast : G \times X \to X$ を $X$ 上での $G$ の 作用^action と呼び、 $X$ を $G$-集合 と呼ぶ。

• (i): 任意の $x \in X$ に対して $ex = x$
• (ii): 任意の $x \in X$ と $g_{1} , g_{2} \in G$ に対して $( g_{1} g_{2} ) (x) = g_{1} (g_{2} x)$

説明

群の作用は一言で「$x \in X$ に $g \in G$ を作用させる」ということだ。直感的に理解しやすい例として、次のような図を考えよう:

$$ X : = \left\{ C, 1,2,3,4 , p_{1}, p_{2} , p_{3} , p_{4} , s_{1}, s_{2} , s_{3} , s_{4} , d_{1}, d_{2} , m_{1} , m_{2} \right\} $$ 上のような 集合 $X$ について 正多面体群 $D_{4}$ を考えよう。正方形で想像できる線分や点の集合である $X$ は、反転や回転を行う $D_{4}$ によって位置が変化し得るため $D_{4}$-集合である。こうして $X$ に変化を与える操作を 作用 と呼ぶのは極めて直感的で妥当だと言える。

なお $X$ は特に群である必要はなく、$G$ と関係がない場合もある。例えば $\mathbb{Z}$ と $$ X:= \left\{ \cdots , - {{3} \over {2}} , - {{1} \over {2}}, {{1} \over {2}} , {{3} \over {2}} , \cdots \right\} $$ を考えると $\left< X , + \right>$ は群にもならず、まだ $G = \mathbb{Z}$ と何の関係もない。しかし $z \in \mathbb{Z}$ と $x \in X$ に対して $\ast : \mathbb{Z} \times X \to X$ が $ z * x = z + x$ と定義されれば

• (i): $0 + x = x$ であり
• (ii): $(z_{1} + z_{2}) + x = z_{1} + (z_{2} + x)$ なので演算 $\ast$ は $X$ 上での作用になり、 $X$ は $\mathbb{Z}$-集合である。