추상대수학에서의 핵, 커널
정의
$G, G'$ 의 항등원 $e, e'$ 과 준동형사상 $\phi : G \to G'$ 에 대해 $\left\{ e' \right\}$ 의 원상 $\phi^{-1} [ \left\{ e' \right\} ]$ 을 $\phi$ 의 핵kernel이라 하고 $\ker \phi$ 라고 쓴다.
정리
- [1]: $g \in G$ 에 대해 $g ( \ker \phi ) = ( \ker \phi ) g$
- [2]: $\ker \phi \triangleleft G$
- [3]: $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ $\iff$ $\phi$ 는 단사다.
- [4]: $\phi$ 가 전사고 $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ 면 $\phi$ 는 동형사상이다.
설명
정리 [3]은 필요충분조건이지만 특히 준동형사상이 단사임을 보이는데에 유용하게 쓰인다. 선형대수학에서의 영공간은 주어진 방정식에 대한 해집합으로써의 정체성이 강했다.
반면 추상대수학에서, 적어도 군론에선 $G$ 가 무엇이든 정규부분군이 됨으로써 ‘중심을 잡아주는 것’으로써의 성격이 강하다. 신기한 것은 정리 [1]에서 $\phi$ 가 실제로 어떻게 정의되었는지, $G'$ 가 어떤 군인지는 신경조차도 쓰지 않고 있다는 점이다. 정리만 보면 $G'$ 는 $G$ 에서 쏘는 $\phi$ 를 받아줄 뿐 아무런 의미도 없는 것이다.
증명
[3]
$( \implies )$ $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ 면 모든 $g \in G$ 에 대해 $\phi ( \left\{ g \right\} )$ 는 정확히 $\left\{ g \right\} = g \left\{ e \right\}$ 에만 대응되므로 $\phi$ 는 단사다.
$( \impliedby )$ $\phi$ 가 단사고 $\phi (e) = e'$ 이므로 $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ 이어야한다.
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