시그마 대수와 가측 공간
정의
집합 $X \ne \varnothing$ 에 대해 아래의 조건들을 만족하는 $\mathcal{E} \subset \mathscr{P} (X)$ 를 $X$ 상의 시그마 대수sigma Algebra 혹은 시그마 필드라 한다. $\mathscr{P} (X)$는 $X$의 멱집합이다.
- (i): $\varnothing \in \mathcal{E}$
- (ii): $E \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}$
- (iii): $\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}$
집합 $X$ 와 시그마 필드 $\mathcal{E}$ 의 순서쌍 $(X , \mathcal{E})$ 를 가측 공간measurable space이라고 한다.
설명
같은 개념이지만 수학에서는 시그마 대수, 통계학에서는 시그마 필드라는 이름으로 불린다. $\sigma$는 가산countable의 의미를 가지며, 정의의 조건 (iii)을 의미한다. 시그마대수 $\mathcal{E}$에 대해서, 정의 (ii)와 (iii), 그리고 드 모르간의 정리로부터 다음이 성립한다.
$$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E} $$
측도 $\mu$ 가 주어져였다면 $(X , \mathcal{E} , \mu)$ 를 측도 공간이라고 하고, 특히 측도 $\mu$ 가 확률이면 확률 공간이라고 부른다.
카라테오도리 조건: $E \subset \mathbb{R}$ 이 $A \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $m^{ \ast }(A) = m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$ 을 만족하면 $E$ 를 가측 집합measurable set이라 하고 $E \in \mathcal{M}$ 과 같이 쓴다.
‘가측 집합’이란 이름 그대로 길이를 잴 수 있는 집합이라는 뜻을 가진다. 외측도의 가산준가법성에 따라 $$m^{ \ast }(A) \le m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ 은 자명하므로, 어떤 집합이 가측인가를 확인하는 것은 $$m^{ \ast }(A) \ge m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ 인가를 확인하는 것과 진배없다.
정의의 의의
$(X, \mathcal{E})$를 가측measurable 공간이라 부르는 것에서 알 수 있듯이, $\sigma$-대수 $\mathcal{E}$는 크기(길이, 면적, 부피 등)를 부여할 수 있는 집합들을 체계적으로 모아놓은 것이다. 측도론의 발달은 확률론의 발달과 그 궤를 같이하므로, 집합의 크기를 사건이 일어날 확률로 바꾸어 보는 것도 직관적 이해에 도움이 된다.
우선 우리가 관심있는 대상인 집합 $X$의 크기를 잴 수 있어야함은 자명하다. 이에 따라 임의의 집합 $E \subset X$의 크기를 잴 수 있다면, 전체집합의 크기를 잴 수 있으므로, 여집합 $E^{c}$의 크기도 잴 수 있어야한다. 정의의 조건 (ii)와 (iii)는 이 두 전제를 만족하도록 설정한 것이다.
또한 크기를 잴 수 있는 두 집합 $E_{1}, E_{2} \subset X$가 있을 때, 그 합집합 $E_{1} \cup E_{2}$의 크기도 잴 수 있어야한다는 것이 자연스럽다. 그리고 해석학에서는 함수열의 극한과 수렴 등을 주요하게 다루는데, 이를 위해서는 가산합집합이라는 조건이 $\sigma$-대수의 정의에 필요하다. 이를 요약해서 시그마 대수의 정의를 한줄로 표현하면 아래와 같다.
- 집합 $X$의 부분집합들의 컬렉션 $\mathcal{E}$가 여집합과 가산합집합에 대해 닫혀있으면, $\sigma$-대수라 한다.
예시
집합 $X$에 대해서,
멱집합 $\mathscr{P} (X)$는 $X$의 시그마대수가 된다. 특히 $X$의 가장 큰 시그마 대수이다.
집합 $\left\{ \varnothing, X \right\}$는 $X$의 시그마대수가 되며, 가장 작은 시그마 대수이다.
임의의 시그마대수들의 교집합도 시그마대수가 된다.
가측 집합들의 집합의 시그마 알지브라
위와 같은 정의에서 $X = \mathbb{R}$ 의 가측 집합들의 집합인 $\mathcal{M}$ 는 다음의 성질들을 가지는 시그마 알지브라가 된다.
$\mathcal{M}$ 은 아래의 성질들을 가진 시그마 알지브라다.
- [1]: $$ \varnothing \in \mathcal{M} $$
- [2]: $$ E \in \mathcal{M} \implies E^{c} \in \mathcal{M} $$
- [3]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [4]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [5]: $$ \mathcal{N} \subset \mathcal{M} $$
- [6]: $$ \mathcal{I} \subset \mathcal{M} $$
- [7]: $E_{i} , E_{j} \in \mathcal{M}$ 라 하면 다음이 성립한다. $$ E_{i} \cap E_{j} = \varnothing , \forall i \ne j \implies m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n = 1} ^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n}) $$
- $\mathcal{I}$ 는 모든 구간들의 집합, $\mathcal{N}$ 은 모든 영집합의 집합이다.
특히 [7]은 르벡이 꿈에서나 그리던 ‘길이의 일반화’에 꼭 필요한 성질임에 주목하라.