시그마 대수와 가측 공간
정의
집합 $X \ne \emptyset$ 에 대해 아래의 조건들을 만족하는 $\mathcal{E} \subset \mathscr{P} (X)$ 를 $X$ 상의 시그마 대수sigma Algebra 혹은 시그마 필드라 한다. 집합 $X$ 와 시그마 필드 $\mathcal{E}$ 의 순서쌍 $(X , \mathcal{E})$ 를 가측 공간measurable space이라고 한다.
- (i): $\emptyset \in \mathcal{E}$
- (ii): $E \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}$
- (iii): $\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}$
- (iv): $\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}$
설명
어떤 공간 $X$ 에 대해 시그마 필드 $\mathcal{E}$ 가 주어진다면 $(X , \mathcal{E})$ 를 가측 공간이라 한다. 측도 $\mu$ 가 주어져였다면 $(X , \mathcal{E} , \mu)$ 를 측도 공간이라고 하고, 특히 측도 $\mu$ 가 확률이면 확률 공간이라고 부른다.
같은 개념이지만 수학에서는 시그마 대수, 통계학에서는 시그마 필드라는 이름으로 불린다고 보면 된다.
카라테오도리 조건: $E \subset \mathbb{R}$ 이 $A \subset \mathbb{R}$ 에 대해 $m^{ \ast }(A) = m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$ 을 만족하면 $E$ 를 가측 집합measurable set이라 하고 $E \in \mathcal{M}$ 과 같이 쓴다.
‘가측 집합’이란 이름 그대로 길이를 잴 수 있는 집합이라는 뜻을 가진다. 외측도의 단조성에서 $$m^{ \ast }(A) \le m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ 은 자명하므로, 어떤 집합이 가측인가를 확인하는 것은 $$m^{ \ast }(A) \ge m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ 인가를 확인하는 것과 진배없다.
가측 집합들의 집합의 시그마 알지브라
위와 같은 정의에서 $X = \mathbb{R}$ 의 가측 집합들의 집합인 $\mathcal{M}$ 는 다음의 성질들을 가지는 시그마 알지브라가 된다.
$\mathcal{M}$ 은 아래의 성질들을 가진 시그마 알지브라다.
- [1]: $$ \emptyset \in \mathcal{M} $$
- [2]: $$ E \in \mathcal{M} \implies E^{c} \in \mathcal{M} $$
- [3]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [4]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [5]: $$ \mathcal{N} \subset \mathcal{M} $$
- [6]: $$ \mathcal{I} \subset \mathcal{M} $$
- [7]: $E_{i} , E_{j} \in \mathcal{M}$ 라 하면 다음이 성립한다. $$ E_{i} \cap E_{j} = \emptyset , \forall i \ne j \implies m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n = 1} ^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n}) $$
- $\mathcal{I}$ 는 모든 구간들의 집합, $\mathcal{N}$ 은 모든 영집합의 집합이다.
특히 [7]은 르벡이 꿈에서나 그리던 ‘길이의 일반화’에 꼭 필요한 성질임에 주목하라.