シグマ代数と可測空間
定義
集合 $X \ne \varnothing$ に対して下記の条件を満たす $\mathcal{E} \subset \mathscr{P} (X)$ を $X$ 上の シグマ代数sigma Algebra または シグマ体 と呼ぶ。$\mathscr{P} (X)$ は $X$ の 冪集合 である。
- (i): $\varnothing \in \mathcal{E}$
- (ii): $E \in \mathcal{E} \implies E^{c} \in \mathcal{E}$
- (iii): $\displaystyle \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E}$
集合 $X$ とシグマ代数 $\mathcal{E}$ の順序対 $(X , \mathcal{E})$ を 可測空間measurable space と呼ぶ。
説明
同じ概念だが数学では シグマ代数、統計学では シグマ体 の名で呼ばれる。$\sigma$ は 可算countable を意味し、定義の条件 (iii) を表す。シグマ代数 $\mathcal{E}$ に関して、条件 (ii) と (iii)、および ド・モルガンの法則 から次が成立する。
$$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{E} $$
測度 $\mu$ が与えられていたなら $(X , \mathcal{E} , \mu)$ を 測度空間 と呼び、特に測度 $\mu$ が 確率測度なら確率空間 と呼ぶ。
カラテオドリ条件: $E \subset \mathbb{R}$ が $A \subset \mathbb{R}$ に対して $m^{ \ast }(A) = m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$ を満たすとき $E$ を 可測集合measurable set といい $E \in \mathcal{M}$ と書く。
「可測集合」とは名前の通り長さを測ることのできる集合という意味を持つ。 外測度の可算準加法性 により $$m^{ \ast }(A) \le m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ は自明なので、ある集合が可測であるかを確認することは $$m^{ \ast }(A) \ge m^{ \ast } ( A \cap E ) + m^{ \ast } ( A \cap E^{c} )$$ かを確認することと同義である。
定義の意義
$(X, \mathcal{E})$ を 可測measurable 空間と呼ぶことから分かるように、$\sigma$-代数 $\mathcal{E}$ は大きさ（長さ、面積、体積など）を与えうる集合を体系的に集めたものである。測度論の発展は 確率論 の発展と軌を一にするため、集合の大きさを事象が起こる確率と見なすことは直感的理解にも役立つ。
まず関心対象である集合 $X$ の大きさを測れることは自明である。したがって任意の集合 $E \subset X$ の大きさを測れるならば全体集合の大きさを測れるため、その補集合 $E^{c}$ の大きさも測れる必要がある。定義の条件 (ii) と (iii) はこの二つの前提を満たすように設定されている。
また大きさを測れる二つの集合 $E_{1}, E_{2} \subset X$ があるとき、その和集合 $E_{1} \cup E_{2}$ の大きさも測れるべきであることは自然である。さらに解析学では 関数列の極限と収束 などを扱うために、可算和という条件が $\sigma$-代数の定義に必要である。これをまとめるとシグマ代数の定義は一行で次のように表現できる。
- 集合 $X$ の部分集合たちの コレクション $\mathcal{E}$ が補集合と可算和に対して閉じていれば、$\sigma$-代数という。
例
集合 $X$ に対して、
冪集合 $\mathscr{P} (X)$ は $X$ のシグマ代数になる。特に $X$ の最大のシグマ代数である。
集合 $\left\{ \varnothing, X \right\}$ は $X$ のシグマ代数であり、最小のシグマ代数である。
任意のシグマ代数たちの交叉もシグマ代数になる。
可測集合たちの集合のシグマアルジェブラ
上の定義において $X = \mathbb{R}$ の可測集合たちの集合である $\mathcal{M}$ は次の性質を持つシグマ代数になる。
$\mathcal{M}$ は下記の性質を持つシグマ代数である。
- [1]: $$ \varnothing \in \mathcal{M} $$
- [2]: $$ E \in \mathcal{M} \implies E^{c} \in \mathcal{M} $$
- [3]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [4]: $$ \left\{ E_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{M} $$
- [5]: $$ \mathcal{N} \subset \mathcal{M} $$
- [6]: $$ \mathcal{I} \subset \mathcal{M} $$
- [7]: $E_{i} , E_{j} \in \mathcal{M}$ とすると次が成り立つ。 $$ E_{i} \cap E_{j} = \varnothing , \forall i \ne j \implies m^{ \ast } \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \sum_{n = 1} ^{\infty} m^{ \ast } ( E_{n}) $$
- $\mathcal{I}$ はすべての区間の集合、$\mathcal{N}$ はすべての零集合の集合である。
特に [7] はルベーグが夢に描いた「長さの一般化」に必須の性質であることに注意。