📂복소해석

복소해석학에서의 역점

정의 ¹

직선 $L: 2px + 2qy + c = 0$ 과 원 $\mathscr{C}: |z - A | = r$ 의 점이 아닌 $P: z = x + iy$ 를 생각하자. 이에 대한 역점^{inverse point}은 다음과 같이 정의된다.

1. $\displaystyle {{y - y^{ \ast }} \over {x - x^{ \ast }}} = {{q} \over {p}}$ 와 $p(x + x^{ \ast }) + q(y + i y^{ \ast }) + c = 0$ 를 만족시키는 $Q: z^{ \ast } = x^{ \ast } + i y^{ \ast }$ 를 $P$ 의 직선 $L$ 에 대한 역점이라고 정의한다. 2. $\overline{AP} \cdot \overline{AQ} = r^2$ 를 만족하는 $Q: z^{ \ast } = x^{ \ast } + i y^{ \ast }$ 를 $P$ 의 원 $\mathscr{C}$ 에 대한 역점이라고 정의한다.

설명

직선에 대한 대칭점을 역점으로 정의하는 것은 상당히 상식적인데 원에 대한 역점은 낯설게 느껴질것이다. 특히 원의 중심의 역점은 무한대, 즉 $P \to A$ 일 때 $Q \to \infty$ 임이 상당히 받아들이기 어려울 수 있다. 하지만 정의와 그림이 복잡하게 그려져있어서 그렇지, 본질적으로는 원의 중심과 축을 이뤄 $\displaystyle {{r^2} \over {z}}$ 를 취한것이나 마찬가지다.

감이 안 온다면 $\mathscr{C}: |z| = 2$ 에 대해 $P = 1$ 이라고 두고 직접 $Q$ 를 구해보도록 하자. 삼각비를 이용해보면 $\displaystyle Q = 4 = { {2^2} \over {1} }$ 임을 어렵지 않게 확인할 수 있을 것이다. 단순히 생각해봐도 원 내부의 모든 점은 원 외부의 모든 점과 일대일대응인데 이렇게 쉬운 개념을 쓰지 않았을 리가 없다. 다만 글로 쓰면서 애매모호한 표현을 제거하려고 하다보니 너무 많은 게 생략되어버렸고 그래서 낯설어보이는 것 뿐이다.

다음의 원리들은 원이나 직선은 쌍선형변환을 취해도 원이나 직선이라는 사실에서 쉽게 유도될 수 있다.

대칭 원리^{symmetry Principle}

$z$ 과 $z^{ \ast }$ 가 서로 역점이라고 하자.

• [1] 직선: $Bz + \overline{Bz} + c = 0$ $\iff$ $Bz^{ \ast } + \overline{Bz} + c = 0$
• [2] 원: $a z \overline{z} + Bz + \overline{Bz} + c = 0$ $\iff$ $a z^{ \ast } \overline{z} + Bz^{ \ast } + \overline{Bz} + c = 0$
• [3] 모든 쌍선형변환은 $\tilde { \mathbb{C} }$ 의 역점을 $\tilde { \mathbb{C} }$ 의 역점으로 대응시킨다.