📂정수론

원시 피타고라스 트리플은 두 홀수만으로 표현할 수 있다

정리 ¹

$a^2 + b^2 = c^2$ 를 만족하는 세 자연수 $a,b,c$ 에 대해 $$ \begin{align*} a =& st \\ b =& {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c =& {{s^2 + t^2 } \over {2}} \end{align*} $$ 를 만족하는 서로소인 두 홀수 $s>t$ 가 존재한다.

설명

이 정리에 따르면 피타고라스 트리플은 사실상 ‘트리플’이라고 부를 이유가 없어진다. 변수를 줄일 수 있다는 건 그것이 어떤 과목이든 가리지 않고 무조건 좋은 일이다.

증명

$(a,b,c)$ 는 피타고라스 트리플이므로 $a$ 혹은 $b $ 가 짝수인데, $a,b$ 가 모두 짝수일 경우 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 역시 짝수이므로 $(a,b,c)$ 는 공약수 $2$ 를 가지며, 이는 원시 피타고라스 트리플이라는 전제에 위배된다. 따라서 $a$ 와 $b$ 둘 중 하나만이 짝수여야한다. 일반성을 잃지 않고, $a$ 가 홀수고 $b$ 가 짝수라고 하자.

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Part 1. $\gcd \left( c-b, c+b \right) =1$

$(a,b,c)$ 가 피타고라스 트리플이므로, $a^2 + b^2 = c^2$ 이다. $b^2$ 를 우변으로 넘기면 $$ a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b) $$ 만약 $b$ 와 $c$ 가 공약수 $d_{1} \ne 1$ 을 가진다면 $a^{2}$ 는 어떤 $B_{1},C_{1}$ 에 대해 $$ a^{2} = c^{2} - b^{2} = d_{1}^{2} \left( C_{1}^{2} - B_{1}^{2} \right) $$ 와 같이 나타나므로 $a$ 역시 $d_{1}$ 의 배수가 되어 원시 피타고라스 트리플이라는 가정에 모순이고, $b$ 와 $c$ 는 서로소다. 또 $(c+b)$ 와 $(c-b)$ 가 공약수 $d_{2} \ne 1$ 를 가진다고 가정해보면 $d_{2}$ 는 $$ 2b = (c+b) - (c-b) \\ 2c = (c+b) + (c-b) $$ 의 약수기도 하고, $b$ 와 $c$ 는 서로소이므로 $d_{2} = 2$ 여야한다. 그러나 마찬가지로 어떤 $C_{2} , B_{2}$ 에 대해 $$ a^{2} = c^{2} - b^{2} = d_{2}^{2} \left( C_{2}^{2} - B_{2}^{2} \right) $$ 와 같이 나타나므로 $d_{2} = 2$ 는 $a$ 의 약수가 되는데, 이는 $a$ 가 홀수인 것에 위배된다.

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Part 2. $s,t$ 의 정의

$a$ 의 제곱 $a^{2}$ 을 $(c-b)$ 와 $(c+b)$ 의 곱 $$ a^{2} = (c-b)(c+b) $$ 와 같이 나타나려면 Part 1에서 $(c-b)$ 와 $(c+b)$ 가 서로소이었으므로 각각 어떤 수 $s,t$ 의 제곱이어야만한다. 이제 $$ s^2 := c + b \\ t^2 := c - b $$ 라고 두면 $b$ 가 짝수고 $c$ 가 홀수이므로 $s,t$ 은 다음을 만족하는 서로소인 홀수다. $$ st = \sqrt{(c-b)(c+b)} = a \\ {{s^2 - t^2 } \over {2}} = b \\ {{s^2 + t^2 } \over {2}} = c $$

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Part 3. 확인

$$ \begin{align*} \left( st \right)^{2} + \left( {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} \right)^{2} &= s^{2} t^{2} + {{ s^{4} - 2 s^{2} t^{2} + t^{4} } \over { 4 }} \\ =& {{ s^{4} + 2 s^{2} t^{2} + t^{4} } \over { 4 }} \\ =& \left( {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right)^{2} \end{align*} $$ 또한 원시 피타고라스 수는 $s,t$ 로 나타냈을 때 다음을 만족한다. $$ \gcd \left( st , {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} \right) = 1 \\ \gcd \left( {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} , {{ s^{2} + t^{2} } \over { 2 }} \right) = 1 \\ \gcd \left( {{ s^{2} + t^{2} } \over { 2 }} , st \right) = 1 $$ 따라서 $\displaystyle st, {{s^2 - t^2 } \over {2}}, {{s^2 + t^2 } \over {2}}$ 는 원시 피타고라스 트리플이 된다.

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