📂整数論

原始ピタゴラス数は二つの奇数のみで表せる

定理 ¹

$a^2 + b^2 = c^2$を満たす三つの自然数 $a,b,c$について $$ \begin{align*} a =& st \\ b =& {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c =& {{s^2 + t^2 } \over {2}} \end{align*} $$ を満たす互いに素な二つの奇数 $s>t$ が存在する。

説明

この定理によればピタゴラス数は事実上「トリプル」と呼ぶ理由がなくなる。変数を減らせるということは、どんな科目であろうと問わず無条件に良いことである。

証明

$(a,b,c)$はピタゴラス数なので$a$ もしくは $b$ が偶数であるが、$a,b$がともに偶数の場合 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$もまた偶数なので $(a,b,c)$は公約数 $2$ を持ち、これは原始ピタゴラス数であるという前提に反する。したがって $a$ と $b$ の二つのうち一方だけが偶数でなければならない。一般性を失わず、$a$ が奇数で $b$ が偶数であるとしよう。

---

Part 1. $\gcd \left( c-b, c+b \right) =1$

$(a,b,c)$がピタゴラス数なので、$a^2 + b^2 = c^2$である。$b^2$を右辺に移せば $$ a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b) $$ もし $b$ と $c$ が公約数 $d_{1} \ne 1$ を持つなら $a^{2}$はある $B_{1},C_{1}$について $$ a^{2} = c^{2} - b^{2} = d_{1}^{2} \left( C_{1}^{2} - B_{1}^{2} \right) $$ のように表されるので $a$ もまた $d_{1}$ の倍数となり原始ピタゴラス数であるという仮定に矛盾し、$b$ と $c$ は互いに素である。また $(c+b)$ と $(c-b)$ が公約数 $d_{2} \ne 1$ を持つと仮定してみると $d_{2}$は $$ 2b = (c+b) - (c-b) \\ 2c = (c+b) + (c-b) $$ の約数でもあり、$b$ と $c$ は互いに素なので $d_{2} = 2$ でなければならない。しかし同様にある $C_{2} , B_{2}$について $$ a^{2} = c^{2} - b^{2} = d_{2}^{2} \left( C_{2}^{2} - B_{2}^{2} \right) $$ のように表されるので $d_{2} = 2$ は $a$ の約数となるが、これは $a$ が奇数であることに反する。

---

Part 2. $s,t$ の定義

$a$ の平方 $a^{2}$を $(c-b)$ と $(c+b)$ の積 $$ a^{2} = (c-b)(c+b) $$ のように表すには、Part 1 で $(c-b)$ と $(c+b)$ が互いに素であったので、それぞれある数 $s,t$ の平方でなければならない。いま $$ s^2 := c + b \\ t^2 := c - b $$ とおけば $b$ が偶数で $c$ が奇数なので $s,t$は次を満たす互いに素な奇数である。 $$ st = \sqrt{(c-b)(c+b)} = a \\ {{s^2 - t^2 } \over {2}} = b \\ {{s^2 + t^2 } \over {2}} = c $$

---

Part 3. 確認

$$ \begin{align*} \left( st \right)^{2} + \left( {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} \right)^{2} &= s^{2} t^{2} + {{ s^{4} - 2 s^{2} t^{2} + t^{4} } \over { 4 }} \\ =& {{ s^{4} + 2 s^{2} t^{2} + t^{4} } \over { 4 }} \\ =& \left( {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right)^{2} \end{align*} $$ また原始ピタゴラス数は $s,t$ で表したとき次を満たす。 $$ \gcd \left( st , {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} \right) = 1 \\ \gcd \left( {{ s^{2} - t^{2} } \over { 2 }} , {{ s^{2} + t^{2} } \over { 2 }} \right) = 1 \\ \gcd \left( {{ s^{2} + t^{2} } \over { 2 }} , st \right) = 1 $$ したがって $\displaystyle st, {{s^2 - t^2 } \over {2}}, {{s^2 + t^2 } \over {2}}$は原始ピタゴラス数となる。

■