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직교좌표계의 단위벡터로 표현한 구면좌표계의 단위벡터

구면좌표계의 단위벡터

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{r}} &= \cos\phi \sin\theta\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\phi}} &= -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*}$$

유도

$\hat{\mathbf{r}}$을 먼저 구한 뒤 이를 이용해서 나머지 둘을 구한다.

반지름 방향 단위벡터 $\hat{\mathbf{r}}$

$$\hat{\mathbf{r}}=r\hat{\mathbf{r}}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$$

이므로 양변을 $r$로 나누면 다음과 같다.

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{r}}&=\frac{x}{r}\hat{\mathbf{x}}+\frac{y}{r}\hat{\mathbf{y}}+\frac{z}{r}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \frac{x}{r \sin\theta}\sin\theta\hat{\mathbf{x}}+\frac{y}{r \sin\theta}\sin\theta\hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ &= \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} =\hat{\mathbf{r}}(\theta,\phi) \end{align*}$$

극각 방향 단위벡터 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$

$\hat{\boldsymbol{\theta}}$은 $\hat{\mathbf{r}}$방향에서 $\phi$는 그대로이고 $\theta$만 $\dfrac{\pi}{2}$만큼 증가한 것이므로 다음과 같다.

$$\begin{align*} \hat{\boldsymbol{\theta}} &= \hat{\mathbf{r}} \left(\theta+\dfrac{\pi}{2}, \phi \right) \\ &= \cos\phi \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right) \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\hat{\mathbf{y}} + \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\hat{\mathbf{z}} \\ &= \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

방위각 방향 단위벡터 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$

$\hat{\boldsymbol{\phi}}=\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}$이므로 다음과 같다.

$$\begin{align*} \hat{\boldsymbol{\phi}} &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \cos\phi \sin\theta & \sin\phi \sin\theta\ & \cos\theta \\ \cos\phi \cos\theta & \sin\phi \cos\theta & -\sin\theta \end{vmatrix} \\ &= (-\sin\phi \sin^2\theta-\sin\phi \cos^2\theta)\hat{\mathbf{x}}+ (\cos\phi \cos^2\theta + \cos\phi \sin^2\theta)\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +(\cos\phi \sin\theta \sin\phi \cos\theta -\cos\phi \sin\theta \sin\phi \cos\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ &= -\sin\phi (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi (\cos^2 \theta + \sin^2\theta) \hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*}$$

혹은 이렇게 생각할 수도 있다. $\hat{\boldsymbol{\phi}}$의 방향을 결정할 때 $\theta$는 영향을 끼치지 않는다. $\theta$의 값에 상관 없이 오로지 $r$, $\phi$의 값에 따라서면 방향이 결정된다. 또한 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$의 방향은 $\hat{\mathbf{r}}$방향에서 $\phi$가 $\dfrac{\pi}{2}$만큼 증가한 것이다. 따라서 $\hat{\mathbf{r}}$에서 $\theta$항이 사라지고 $\phi$대신 $\phi + \dfrac{\pi}{2}$를 대입한 꼴이다.

$$\begin{align*} \hat{\boldsymbol{\phi}} &= \cos{(\phi+\dfrac{\pi}{2} )}\hat{\mathbf{x}} + \sin{(\phi + \dfrac{\pi}{2})}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin \phi \hat{\mathbf{x}}+ \cos \phi \hat{\mathbf{y}} \end{align*}$$

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