📂복소해석

조르당 보조정리를 통한 이상적분

설명 ¹

우선은 발산하는 반원 상의 복소경로적분을 통한 유리함수의 이상적분과 비슷하게 시작해보자. 두 다항함수 $p(z) , q(z)$ 에 대해 $\displaystyle f(z) = {{q(z)} \over {p(z)}}$ 이라고 하자.

$p(z) = 0$ 을 만족하는 실수해가 존재하지 않으면 $f$ 는 실수 특이점을 갖지 않을 것이다. 양수 $m \in \mathbb{R}^{+}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \sin{mx}f(x) dx$ 혹은 $\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \cos{mx}f(x) dx$ 꼴의 적분을 한다고 생각해보자.

이때 이상적분이 존재하는 조건은 $\displaystyle f(z) \sim {{1} \over {z^{p}}}$ 에서 $p > 0$ 인 것으로, 조건이 상당히 완화되었음을 알 수 있다. 무한급수의 개념으로 생각해보면 조화급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{1 }\over {n}}$ 은 발산하지만 교대조화급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} {{1 }\over {n}}$ 는 수렴하는 것과 비슷하게 볼 수 있다.

위와 같은 단순폐반원 $\mathscr{C} = {\color{red}\Gamma} \cup [-R,R]$ 를 생각해보면 $$ \int_{\mathscr{C}} e^{m i z} f(z) dz = \color{red} {\int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz } + \int_{-R}^{R} \cos m z f(z) dz + i \int_{-R}^{R} \sin m z f(z) dz $$ 와 같이 쪼개서 생각할 수 있다.

조르당 보조정리: 함수 $f$ 가 $\Gamma$ 에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$ 이면 양수 $m \in \mathbb{R}^{+}$ 에 대해 $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0$$

$R \to \infty$ 일 때 $\displaystyle \color{red} {\int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz } \to 0$ 이므로 유수 정리를 이용해서 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} e^{m i z}f(z) dz$ 를 계산하면 실수부는 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos m z f(z) dz$, 허수부는 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin m z f(z) dz$ 로 구해진다.