양자역학에서 조화진동자의 대수적 풀이 (연산자 방법)
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명제
양자 조화진동자의 바닥 상태와 그 에너지는 다음과 같다.
ψ0(x)=(πℏmω)1/4e−2ℏmωx2
E0=21ℏω
들뜬 상태와 그 에너지는 아래와 같다. n=1,2,…에 대해서,
ψn(x)=2nn!1α−n/2(πα)1/4(αx−dxd)ne−2αx2
En=(n+21)ℏω
이때 α=ℏmω이다.
유도
양자 조화진동자에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
Hψ=(−2mℏ2dx2d2+21mω2x2)ψ=Eψ
해밀토니안 H의 사다리 연산자는 다음과 같다.
a+a−=2ℏmω1(−iP+mωX)=2ℏmω1(+iP+mωX)
ψ를 H의 고유 함수파동함수, E를 이에 대응되는 고유값에너지이라 하자. 사다리 연산자 a−의 역할은, H의 고유함수에 적용하여 고유값이 ℏω만큼 작은 다른 고유함수를 만드는 것이다. 즉 다음을 성립하게하는 연산자이다.
H(a−ψ)=(E−ℏω)(a−ψ)
바닥상태
하강 연산자 a−를 임의의 횟수만큼 적용시키면 그 만큼 에너지가 작은 고유함수를 계속해서 얻을 수 있다.
H((a−)2ψ)=(E−2ℏω)((a−)2ψ)H((a−)3ψ)=(E−3ℏω)((a−)3ψ)⋮
하강 연산자를 계속 적용시키다가, 어느 순간 고유함수 ψ0의 에너지 E0의 범위가 다음과 같다고 하자.
0<E0<ℏω
그러면 ψ0에 한 번 더 a−를 취하면 에너지가 음수가 된다는 말이고, (퍼텐셜 V(x)=21mω2x2의 최솟값이 0이므로) 이 때는 물리적으로 가능한 해가 존재하지 않는다. 즉 입자가 존재할 확률이 0이라는 뜻이므로 파동함수는 0이다.
a−ψ0=0
운동량 연산자가 p=iℏdxd이므로 (편의상 소문자로 쓰자), 위 식은 아래와 같은 미분방정식이 된다.
2ℏmω1(ℏdxdψ0+mωxψ0)=0⟹dxdψ0=−ℏmωxψ0
이를 변수분리한 뒤, 적분하면 아래와 같이 ψ0를 얻는다.
⟹⟹⟹⟹⟹dψ01dψ0∫dψ01dψ0lnψ0ψ0ψ0=−ℏmωxdx=−ℏmω∫xdx=−2ℏmωx2+constant=e−2ℏmωx2+constant=C0e−2ℏmωx2
이제 규격화 상수 C0를 정확히 구해보자. C0는 파동함수를 제곱적분하여 1이 되도록 하는 상수이다.
1=∫ψ0∗ψ0dx=∣C0∣2∫e−ℏmωx2dx
여기서 우변의 적분은 가우스 적분이다.
가우스 적분:
−∞∫∞e−αx2dx=απ
따라서 다음을 얻는다.
1=∣C0∣2mωπℏ⟹C0=(πℏmω)1/4
그러므로 에너지가 가장 낮은 바닥상태의 파동함수는 아래와 같다.
ψ0(x)=(πℏmω)1/4e−2ℏmωx2
조화진동자의 해밀토니안은 사다리연산자로 H=ℏω(a+a−+21)와 같이 표현되므로, 바닥상태의 에너지는 다음과 같이 계산된다.
⟹⟹⟹⟹⟹Hψ0ℏω(a+a−+21)ψ0ℏωa+a−ψ0+21ℏωψ021ℏωψ0E0=E0ψ0=E0ψ0=E0ψ0=E0ψ0=21ℏω
들뜬 상태
이제 들뜬 상태의 파동함수와 에너지를 구해보자. 우선 a+는 상태의 에너지를 ℏω만큼 증가시키는 연산자이므로 임의의 상태 n에 대한 에너지는 다음과 같다.
H(a+)nψ0=(E0+nℏω)(a+)nψ0
⟹En=21ℏω+nℏω=(n+21)ℏω
사다리 연산자 a+에 대해서, a+ψn와 규격화된 n+1번째 고유함수 ψn+1는 비례한다.
a+ψn=C+ψn+1(1)
좌변을 제곱적분하면 다음과 같다. ψn는 규격화된 파동함수이고, 디랙 표기법을 사용하면,
(a+∣ψn⟩)∗(a+∣ψn⟩)=⟨ψn∣a−a+∣ψn⟩=⟨ψnℏω1H+21ψn⟩=ℏω1⟨ψn∣H∣ψn⟩+21⟨ψn∣ψn⟩=ℏω1⟨ψn∣En∣ψn⟩+21=(n+21)+21=n+1
두번째 등호는 a−a+=ℏω1H+21를 대입한 것이다. 한편 (1)의 우변을 제곱적분하면,
(C+∣ψn+1⟩)∗(C+∣ψn+1⟩)=∣C+∣2⟨ψn+1∣ψn+1⟩=∣C+∣2
따라서 다음을 얻는다.
C+=n+1⟹ψn+1=n+11a+ψn
최종적으로 임의의 n번째 상태는 바닥상태에 대해서 다음과 같이 나타난다.
ψn=n1a+ψn−1=n1a+n−11a+ψn−2=n(n−1)1(a+)2ψn−2=n(n−1)1(a+)2n−21a+ψn−3=n(n−1)(n−2)1(a+)3ψn−3=⋮=n!1(a+)nψ0=n!1(2ℏmω1(mωx−ℏdxd))n(πℏmω)1/4e−2ℏmωx2=2nn!1(ℏmω1)nℏn(ℏmωx−dxd)n(πℏmω)1/4e−2ℏmωx2=2nn!1(mωℏ)n(ℏmωx−dxd)n(πℏmω)1/4e−2ℏmωx2
여기서 α=ℏmω라고 두면,
ψn(x)=2nn!1α−n/2(πα)1/4(αx−dxd)ne−2αx2
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