📂양자역학

연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 사다리 연산자의 정의

빌드업

조화진동자의 사다리연산자$\mathrm{Ladder\ Operator}$이다. 에너지 연산자인 해밀토니안$H$과도 치환이 가능하고,사다리 연산자의 특징을 이용해 바닥상태부터의 고유함수도 구할 수 있다. 조화 진동자의 고전적인 해밀토니안$H$을 인수분해 하는 것에서 새 연산자를 정의하는 힌트를 얻을 수 있다.

$$\begin{align*} H &= \frac{1}{2m}p^{2}+\frac{1}{2m}mw^{2}x^{2} \\ &= \frac{1}{2m} \left(p^{2}+m^{2}w^{2}x^{2} \right) \\ &= \frac{1}{2m} (ip+mwx)(-ip+mwx) \end{align*}$$

여기서 힌트를 얻어 조화 진동자의 두 사다리 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있다.하필 $i$가 $x$항이 아닌 $p$항에 붙는 이유나 앞의 상수가 $\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}$인 이유는 최종적으로 나올 식의 형태를 생각해서 계산을 쉽게 할 수 있게 한 것이다.

$$\begin{align*} a_{+} &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(ip+mwx) \\ a_{-} &= \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(-ip+mwx)=(a_{+})^{\ast} \end{align*}$$

이제 두 연산자의 곱으로 해밀토니안$H$을 표현해보자. 연산자이므로 곱셈의 순서에 따라 결과가 달라질 수 있음을 유의해야 한다. 또한 표준교환관계식 $[x,p]=i\hbar$를 사용한다.

$$\begin{align*} a_{-}a_{+} &= \frac{1}{2\hbar mw} (p^{2} + m^{2}w^{2}x^{2}+mwipx-mwixp) \\ &= \frac{1}{2\hbar mw} (p^{2} + m^{2}w^{2}x^{2}-mwi[x,p]) \\ &= \frac{1}{2\hbar mw} (p^{2} + ^{2}w^{2}x^{2}+mw\hbar) \\ &= \frac{1}{2\hbar mw} (p^{2} + m^{2}w^{2}x^{2}) + \frac{1}{2\hbar mw}(mw\hbar) \\ &= \frac{1}{\hbar w}\frac{1}{2m} (p^{2} + m^{2}w^{2}x^{2}) + \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\hbar w}H+\frac{1}{2} \end{align*}$$

따라서 $H = \hbar w(a_{-}a_{+} - \dfrac{1}{2})$이다. 곱의 순서를 바꾸고 같은 과정으로 계산하면

$$\begin{align*} && a_{+}a_{-} &= \dfrac{1}{\hbar w}H-\dfrac{1}{2} \\ \implies && H &= \hbar w(a_{+}a_{-} + \frac{1}{2}) \end{align*}$$

이로부터 두 연산자의 교환자도 계산할 수 있다.$[a_{-},a_{+}]=1$이제 두 연산자$a_\pm$를 이용하여 조화진동자의 슈뢰딩거 방정식을 새롭게 표현할 수 있다.

$$H\psi=E\psi$$

$$\implies \hbar w (a_\pm a_\mp \pm \dfrac{1}{2})\psi=E\psi$$

이 두 연산자 $a_{+}$, $a_{-}$의 이름은 각각 올림 연산자$\mathrm{rasing\ operator}$, 내림 연산자$\mathrm{lowering\ operator}$이다.이런 이름을 가지는 이유는 바로 고유함수에 적용시켰을 때 에너지(고유값)가 증가하거나 감소하기 때문이다.즉, 에너지를 올려주거나 내려주는 연산자라는 뜻이다.왜 그렇게 되는지는 다음 글을 참고하자다음 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 해결하기 : 사다리 연산자 적용

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이제 사다리 연산자가 조화진동자의 고유함수에 어떻게 작용하는지 알아보자.참고로 임의의 상수와 임의의 연산자간의 교환자는 항상 $0$이다.아래의 수식 전개에서 사용한 관계식 $( [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B,\ \ [a_{-},a_{+}]=1 )

$$H=(a_{+}a_{-}+\dfrac{1}{2})\hbar w$$이므로,

$$\begin{align*} [H,a_{+}] &= [(a_{+}a_{-}+\dfrac{1}{2})\hbar w,a_{+}] \\ &= [a_{+}a_{-}\hbar w,a_{+}]+[\dfrac{1}{2}\hbar w, a_{+}] \\ &= \hbar w[a_{+}a_{-},a_{+}] \\ &= \hbar w(a_{+}[a_{-},a_{+}] + [a_{+},a_{+}]a_{-}) \\ &= \hbar w a_{+} \\ &= Ha_{+} - a_{+}H \end{align*}$$

같은 방법으로 $[H,a_{-}]$를 구하면$[H,a_{-}]=-\hbar w a_{-}=Ha_{-} - a_{-}H$이제 위에서 구한 관계식을 써서 조화진동자의 고유함수에 적용시켜보자.$a_\pm$는 고유함수$\ket{\psi}$에 대해서 고유값 방정식을 만족시키는 연산자가 아니므로$a_\pm$대신 $H$가 고유함수에 적용될 수 있도록 모양을 바꿔준다.슈뢰딩거 방정식은 $H \ket{\psi}=E \ket{\psi} $$\begin{align*} Ha_{+} \ket{\psi} &= (\hbar wa_{+} + a_{+}H) \ket{\psi} \\ &= (\hbar wa_{+} + a_{+}E) \ket{\psi} \\ &= (E+\hbar w)a_{+} \ket{\psi} \end{align*}$$

따라서 $\ket{\psi}$가 $H$에 대한 고유함수일 때 $a_{+} \ket{\psi}$역시 고유값 방 정식을 만족하는 고유함수이다.이 때 $a_{+} \ket{\psi}$의 고유값은 $(E+\hbar w)$이다.일반식을 구하기 위해 두 번 적용시켜보자.한 번 적용했을 때의 결과를 여기서 사용한다.

$$\begin{align*} H(a_{+})^{2} \ket{\psi} &= Ha_{+}a_{+} \ket{\psi} \\ &= (a_{+}H+\hbar w a_{+})a_{+} \ket{\psi} \\ &= a_{+}H+a_{+} \ket{\psi} + \hbar w a_{+}a_{+} \ket{\psi} \\ &= a_{+}(E+\hbar w)a_{+} \ket{\psi} + \hbar w a_{+}a_{+} \ket{\psi} \\ &= (E+\hbar w)(a_{+})^{2} \ket{\psi} + \hbar w (a_{+})^{2} \ket{\psi} \\ &= (E+2\hbar w)(a_{+})^{2} \ket{\psi} \end{align*}$$

따라서 고유함수 $\ket{\psi}$에 $a_{+}$를 $n$번 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\implies H(a_{+})^n \ket{\psi}=(E+n\hbar w)(a_{+})^n \ket{\psi}$$

마찬가지로 같은 방법으로 고유함수에 $a_{-}$를 적용시키면

$$Ha_{-} \ket{\psi}=(a_{-}H - \hbar w a_{-}) \ket{\psi}=(E-\hbar w)a_{-} \ket{\psi}$$

$$\implies H(a_{-})^n \ket{\psi}=(E-n\hbar w)(a_{-})^n \ket{\psi}$$

따라서 고유함수에 적용시킬수록 에너지가 커지는 $a_{+}$를 올림연산자$\mathrm{rasing\ operator}$라 한다.고유함수에 적용시킬수록 에너지가 작아지는 $a_{-}$를 내림연산자$\mathrm{lowering\ operator}$라 한다.다음글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 에너지 준위와 바닥상태

이전 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 사다리 연산자 적용계속해서 조화진동자의 에너지와 바닥상태의 고유함수를 구해보자.

$$E=<\psi|H \ket{\psi}=<\psi|(a_{+}a_{-}+\dfrac{1}{2})\hbar w \ket{\psi}$$

이 때 고유함수에 한 없이 $a_{-}$를 적용시킬 순 없다.에너지가 $0$보다 작아질 수는 없다는 말이다.에너지가 퍼텐셜 보다 작을 때는 해가 없기 때문에 $E>U$이어야 하기 때문이다.즉, 더 이상 에너지준위가 내려가지 않는 바닥상태$\mathrm{ground\ state}$가 있고바닥 상태에 내림연산자$\mathrm{lowering\ operator}$를 적용시키면 $0$이다.즉, 바닥상태를 $\ket{\psi_{0}}$라고 하면$a_{-} \ket{\psi_{0}}=0$이제 이 사실을 이용해서 바닥상태의 에너지를 구해보자.

$$\begin{align*} H \ket{\psi_{0}} &= (a_{+}a_{-} + \frac{1}{2})\hbar w \ket{\psi_{0}} \\ &= \hbar w a_{+}a_{-} \ket{\psi_{0}}+\frac{1}{2}\hbar w \ket{\psi_{0}} \\ &= \frac{1}{2}\hbar w \ket{\psi_{0}} \end{align*}$$ \therefore H \ket{\psi_{0}}=\dfrac{1}{2}\hbar w \ket{\psi_{0}}$바닥상태의 에너지는$E_{0}=\dfrac{1}{2}\hbar w$이다.$0$이 아니다!이전 글에서 사다리 연산자는 고유함수의 에너지를$\pm \hbar w$만큼 변화시키는 것을 알았다.즉, 첫 번째 들뜬 상태의 에너지는$E_{1}=\dfrac{1}{2}\hbar w +\hbar w$두 번째 들뜬 상태의 에너지는$E_2=\dfrac{1}{2}\hbar w+2\hbar w$따라서$n$번째 에너지에 대해서 일반적으로 표현할 수 있다.$E_{n}=(n+\dfrac{1}{2})\hbar w,\ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdot)$에너지 준위가 등간격($\hbar w $)으로 이루어져있음을 알 수 있다.이제 바닥상태의 고유함수$\psi_{0}$를 구체적으로 구해보자.참고로 운동량 연산자$p$는 $p={\hbar \over i}{\partial \over \partial x}$$a_{-}\psi_{0}=0

$$\implies {1 \over {\sqrt{2\hbar mw}} }(-ip+mwx) \psi_{0}=0$$

$$\implies (-ip+mwx) \psi_{0}=0$$

$$\implies (\hbar\frac{\partial}{\partial x} +mwx) \psi_{0}=0$$

$$\implies \frac{\partial}{\partial x}\psi_{0}=-\frac{mwx}{\hbar}\psi_{0}$$

여기서 변수분리를 해주면

$$\displaystyle \frac{1}{\psi_{0}} d\psi_{0}=-\frac{mwx}{\hbar} dx$$

$$\implies \ln (\psi_{0}) = -\frac{mwx^{2}}{2\hbar}+C$$

$$\implies \psi_{0}(x)=Ce^{-\frac{mwx^{2}}{2\hbar}}$$

이제 규격화상수 $C$만 구하면 바닥상태의 고유함수를 정확하게 알 수 있다.규격화 조건에 의해

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (\psi_{0})^{\ast}\psi_{0}dx=1$$

$$\implies |C|^{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{mwx^{2}}{\hbar}} dx=1$$

이 적분을 계산하기 위해 가우스 적분 : $e^{-x^{2}}$꼴의 정적분을 참고하자.적분하기 편하게 치환을 해주면

$$\sqrt{\frac{mw}{\hbar}}x \equiv y$$

$$dx=\sqrt{\frac{\hbar}{mw}}dy$$

적분 범위는 변함 없다.이제 원래의 식에 대입해주면

$$\displaystyle \implies |C|^{2}\sqrt{\dfrac{\hbar}{mw}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-^y2} dy=1$$

$$\implies |C|^{2}\sqrt{\dfrac{\hbar}{mw}}\sqrt{\pi}=1$$

$$\implies |C|^{2}\sqrt{\dfrac{\hbar \pi}{mw}}=1$$

$$\therefore |C|^{2}=\sqrt{\frac{mw}{\hbar \pi}},\ \ C=(\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}}$$

따라서 최종적으로 바닥상태의 고유함수는$\psi_{0} (x)=(\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mwx^{2}}{2\hbar}}$다음 글에서는 $n$에 대해서 일반화된 고유함수를 구해보겠다.다음 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 일반화된 고유함수

이전 글 : 연산자 방법으로 조화진동자 문제 풀기 : 에너지 준위와 바닥상태의 고유함수 이제 조화진동자의 사다리 연산자와 바닥상태의 고유함수로부터 일반화된 고유함수를 구해보자.사다리 연산자 $a_\pm$는 고유함수 $\psi_{n}$의 상태를 한 단계 올려주거나 내려준다.따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있다.$a_{+} \ket{\psi_{n}}=C_{+}|\psi_{n+1}>

$$a_{-} \ket{\psi_{n}}=C_{-} \ket{\psi_{n-1}}$$

$C_\pm$는 각각 $n$번째와 $(n+1)$번째, $n$번째와 $(n-1)$번째 상태 사이의 비례계수이다. 이 비례계수를 정확하게 구해보자.각 고유함수들이 규격화된 고유함수라고 가정하고 규격화조건을 사용하자.규격화된 고유 함수는 자신과 내적하면 값이 $1$이다.사다리 연산자와 해밀토니안 사이의 관계식을 사용하면.

$$\begin{align*} (a_{+} \ket{\psi_{n}})^{\ast}(a_{+} \ket{\psi_{n}}) &= \bra{\psi_{n}} a_{-}a_{+} \ket{\psi_{n}} \\ &= \bra{\psi_{n}} \frac{1}{\hbar w}H + \frac{1}{2} \ket{\psi_{n}} \\ &= \frac{1}{\hbar w} E_{n} <\psi_{n} \ket{\psi_{n}} + \frac{1}{2} <\psi_{n} \ket{\psi_{n}} \\ &= \frac{1}{\hbar w}(n+\frac{1}{2})\hbar w +\frac{1}{2} \\ &= n+1 \end{align*}$$

반면 위의 비례식을 사용하면

$$\begin{align*} (a_{+} \ket{\psi_{n}})^{\ast}(a_{+} \ket{\psi_{n}}) &= (C_{+}|\psi_{n+1}>)^{\ast}(C_{+}|\psi_{n+1}>) \\ &= |C_{+}|^{2}\braket{\psi_{n+1} | \psi_{n+1}} \\ &= |C_{+}|^{2} \end{align*}$$

따라서 위의 두 결과를 종합하면 $C_{+}$값을 얻을 수 있다.$|C_{+}|^{2}=n+1 $$\implies C_{+}=\sqrt{n+1}$$ \therefore a_{+} \ket{\psi_{n}}=\sqrt{n+1}|\psi_{n+1}>$같은 방법으로$C_{-}$도 구할 수 있다.과정은 생략하고 결과만 적을 테니 직접 해보길 바란다.$|C_{-}|^{2}=n $$\implies C_{-}=\sqrt n$$

$$\implies a_{-} \ket{\psi_{n}}=\sqrt n |\psi_{n-1}>$$

이제 이 결과와 바닥상태 $\ket{\psi_{0}}$를 이용해서 일반화된 $n$번째 상태를 구해보자.

$a_{+} \ket{\psi_{n}}=\sqrt{n+1}|\psi_{n+1}>$이므로 $|\psi_{n+1}>=\frac{1}{\sqrt{n+1}}a_{+} \ket{\psi_{n}}$이다.

1번째 들뜬 상태$\ket{\psi_{1}}=a_{+} \ket{\psi_{0}}$

2번째 들뜬 상태 $$\begin{align*} |\psi_2> &= \frac{1}{\sqrt{2}}a_{+}\ket{\psi_{1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}a_{+}a_{+} \ket{\psi_{0}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}(a_{+})^{2} \ket{\psi_{0}} \end{align*}$$

3번째 들뜬 상태 $$\begin{align*} |\psi_{3}> &= \frac{1}{\sqrt{3}}a_{+}|\psi_2> \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}a_{+}\frac{1}{\sqrt{2}}(a_{+})^{2} \ket{\psi_{0}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3!}}(a_{+})^3 \ket{\psi_{0}} \end{align*}$$

4번째 들뜬 상태 $$\begin{align*} |\psi_{4}> &= \frac{1}{\sqrt{4}}a_{+}|\psi_{3}> \\ &= \frac{1}{\sqrt{4}}a_{+}\frac{1}{\sqrt{3!}}(a_{+})^3 \ket{\psi_{0}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4!}}(a_{+})^4 \ket{\psi_{0}} \end{align*}$$

따라서 $\ket{\psi_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a_{+})^n \ket{\psi_{0}}$ 여기에 이전에 구한 바닥상태의 고유함수 $\psi_{0}(x)=(\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mwx^{2}}{2\hbar}}$와사다리 연산자 $a_{+}=\frac{1}{\sqrt{2\hbar mw }}(mwx+ip)=\sqrt{\frac{mw}{2\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\frac{d}{dx}$를 대입하면 $\psi_{n} (x) =\frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \sqrt{\frac{mw}{2\hbar}}x-\sqrt{\frac{\hbar}{2mw}}\frac{d}{dx} \right)^n (\frac{mw}{\hbar \pi})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mwx^{2}}{2\hbar}}$이것이 바로 연산자를 이용해서 구한 조화진동자의 일반화된 $n$번째 상태($n$번째 고유함수)이다.