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양자역학에서 조화진동자의 대수적 풀이 (연산자 방법) 📂양자역학

양자역학에서 조화진동자의 대수적 풀이 (연산자 방법)

명제

양자 조화진동자의 바닥 상태와 그 에너지는 다음과 같다.

ψ0(x)=(mωπ)1/4emω2x2 \psi_{0}(x) = \left(\textstyle \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2}}

E0=12ω E_{0} = \dfrac{1}{2}\hbar \omega

들뜬 상태와 그 에너지는 아래와 같다. n=1,2,n = 1, 2, \dots에 대해서,

ψn(x)=12nn!αn/2(απ)1/4(αxddx)neα2x2 \psi_{n}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \alpha^{-n/2} \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \left( \alpha x - \dfrac{\d }{\d x} \right)^{n} e^{-\frac{\alpha}{2} x^{2}}

En=(n+12)ω E_{n} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega

이때 α=mω\alpha = \frac{m \omega}{\hbar}이다.

유도

양자 조화진동자에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

Hψ=(22md2dx2+12mω2x2)ψ=Eψ H \psi = \left( -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{ d^{2} }{ dx^{2} } + \dfrac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \right) \psi = E\psi

해밀토니안 HH의 사다리 연산자는 다음과 같다.

a+=12mω(iP+mωX)a=12mω(+iP+mωX) \begin{align*} a_{+} &= \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(- \i P + m\omega X) \\ a_{-} &= \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(+ \i P + m\omega X) \end{align*}

ψ\psiHH고유 함수파동함수, EE를 이에 대응되는 고유값에너지이라 하자. 사다리 연산자 aa_{-}의 역할은, HH의 고유함수에 적용하여 고유값이 ω\hbar\omega만큼 작은 다른 고유함수를 만드는 것이다. 즉 다음을 성립하게하는 연산자이다.

H(aψ)=(Eω)(aψ) H (a_{-} \psi) = (E - \hbar\omega)(a_{-}\psi)

바닥상태

하강 연산자 aa_{-}를 임의의 횟수만큼 적용시키면 그 만큼 에너지가 작은 고유함수를 계속해서 얻을 수 있다.

H((a)2ψ)=(E2ω)((a)2ψ)H((a)3ψ)=(E3ω)((a)3ψ) \begin{array}{c} H ((a_{-})^{2} \psi) = (E - 2\hbar\omega)((a_{-})^{2}\psi) \\ H ((a_{-})^{3} \psi) = (E - 3\hbar\omega)((a_{-})^{3}\psi) \\ \vdots \end{array}

하강 연산자를 계속 적용시키다가, 어느 순간 고유함수 ψ0\psi_{0}의 에너지 E0E_{0}의 범위가 다음과 같다고 하자.

0<E0<ω 0 \lt E_{0} \lt \hbar\omega

그러면 ψ0\psi_{0}에 한 번 더 aa_{-}를 취하면 에너지가 음수가 된다는 말이고, (퍼텐셜 V(x)=12mω2x2V(x) = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}의 최솟값이 00이므로) 이 때는 물리적으로 가능한 해가 존재하지 않는다.입자가 존재할 확률00이라는 뜻이므로 파동함수는 00이다.

aψ0=0 a_{-}\psi_{0} = 0

운동량 연산자p=iddxp = \frac{\hbar}{\i} \frac{\d }{\d x}이므로 (편의상 소문자로 쓰자), 위 식은 아래와 같은 미분방정식이 된다.

12mω(dψ0dx+mωxψ0)=0    dψ0dx=mωxψ0 \dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}\left( \hbar\dfrac{\d \psi_{0}}{\d x} + m \omega x \psi_{0} \right) = 0 \\[1em] \implies \dfrac{\d \psi_{0}}{\d x} = -\dfrac{m \omega x}{\hbar}\psi_{0}

이를 변수분리한 뒤, 적분하면 아래와 같이 ψ0\psi_{0}를 얻는다.

    1dψ0dψ0=mωxdx    1dψ0dψ0=mωxdx    lnψ0=mω2x2+constant    ψ0=emω2x2+constant    ψ0=C0emω2x2 \begin{align*} \implies && \dfrac{1}{\d \psi_{0}} \d \psi_{0} &= -\dfrac{m\omega}{\hbar} x \d x \\ \implies && \int \dfrac{1}{\d \psi_{0}} \d \psi_{0} &= -\dfrac{m\omega}{\hbar} \int x \d x \\ \implies && \ln \psi_{0} &= -\dfrac{m\omega}{2\hbar} x^{2} + \text{constant} \\ \implies && \psi_{0} &= e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2} + \text{constant}} \\ \implies && \psi_{0} &= C_{0} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2}} \\ \end{align*}

이제 규격화 상수 C0C_{0}를 정확히 구해보자. C0C_{0}는 파동함수를 제곱적분하여 11이 되도록 하는 상수이다.

1=ψ0ψ0dx=C02emωx2dx 1 = \int \psi_{0}^{\ast} \psi_{0} dx = |C_{0}|^{2} \int e^{-\frac{m\omega}{\hbar} x^{2}} dx

여기서 우변의 적분은 가우스 적분이다.

가우스 적분:

eαx2dx=πα \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}

따라서 다음을 얻는다.

1=C02πmω    C0=(mωπ)1/4 1 = |C_{0}|^{2} \sqrt{\dfrac{\pi \hbar}{m \omega}} \implies C_{0} = \left( \dfrac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4}

그러므로 에너지가 가장 낮은 바닥상태의 파동함수는 아래와 같다.

ψ0(x)=(mωπ)1/4emω2x2 \psi_{0}(x) = \left(\textstyle \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2}}

조화진동자의 해밀토니안은 사다리연산자로 H=ω(a+a+12)H = \hbar \omega(a_{+}a_{-} + \frac{1}{2})와 같이 표현되므로, 바닥상태의 에너지는 다음과 같이 계산된다.

    Hψ0=E0ψ0    ω(a+a+12)ψ0=E0ψ0    ωa+aψ0+12ωψ0=E0ψ0    12ωψ0=E0ψ0    E0=12ω \begin{align*} \implies && H\psi_{0} &= E_{0}\psi_{0} \\ \implies && \hbar \omega \left( a_{+}a_{-} + \frac{1}{2} \right) \psi_{0} &= E_{0}\psi_{0} \\ \implies && \hbar \omega a_{+}a_{-}\psi_{0} + \frac{1}{2}\hbar \omega \psi_{0} &= E_{0}\psi_{0} \\ \implies && \frac{1}{2}\hbar \omega \psi_{0} &= E_{0}\psi_{0} \\ \implies && E_{0} &= \dfrac{1}{2}\hbar \omega \end{align*}

들뜬 상태

이제 들뜬 상태의 파동함수와 에너지를 구해보자. 우선 a+a_{+}는 상태의 에너지를 ω\hbar\omega만큼 증가시키는 연산자이므로 임의의 상태 nn에 대한 에너지는 다음과 같다.

H(a+)nψ0=(E0+nω)(a+)nψ0 H(a_{+})^{n}\psi_{0} = \left( E_{0} + n\hbar\omega \right) (a_{+})^{n}\psi_{0}

    En=12ω+nω=(n+12)ω \implies E_{n} = \dfrac{1}{2}\hbar\omega + n\hbar\omega = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega

사다리 연산자 a+a_{+}에 대해서, a+ψna_{+}\psi_{n}와 규격화된 n+1n+1번째 고유함수 ψn+1\psi_{n+1}비례한다.

a+ψn=C+ψn+1(1) a_{+} \psi_{n} = C_{+} \psi_{n+1} \tag{1}

좌변을 제곱적분하면 다음과 같다. ψn\psi_{n}는 규격화된 파동함수이고, 디랙 표기법을 사용하면,

(a+ψn)(a+ψn)=ψnaa+ψn=ψn|1ωH+12|ψn=1ωψn|H|ψn+12ψnψn=1ωψn|En|ψn+12=(n+12)+12=n+1 \begin{align*} (a_{+} \ket{\psi_{n}})^{\ast}(a_{+} \ket{\psi_{n}}) &= \braket{\psi_{n} | a_{-}a_{+} | \psi_{n}} \\ &= \Braket{\psi_{n} | \frac{1}{\hbar \omega}H + \frac{1}{2} | \psi_{n}} \\ &= \frac{1}{\hbar \omega}\Braket{\psi_{n} | H | \psi_{n}} + \frac{1}{2} \braket{\psi_{n} | \psi_{n}} \\ &= \frac{1}{\hbar \omega}\Braket{\psi_{n} | E_{n} | \psi_{n}} + \frac{1}{2}\\ &= \left( n + \dfrac{1}{2} \right) + \frac{1}{2}\\ &= n + 1 \end{align*}

두번째 등호는 aa+=1ωH+12a_{-}a_{+}=\frac{1}{\hbar \omega}H + \frac{1}{2}를 대입한 것이다. 한편 (1)(1)의 우변을 제곱적분하면,

(C+ψn+1)(C+ψn+1)=C+2ψn+1ψn+1=C+2 \begin{align*} (C_{+}\ket{\psi_{n+1}})^{\ast}(C_{+}\ket{\psi_{n+1}}) &= |C_{+}|^{2}\braket{\psi_{n+1} | \psi_{n+1}} \\ &= |C_{+}|^{2} \end{align*}

따라서 다음을 얻는다.

C+=n+1    ψn+1=1n+1a+ψn C_{+} = \sqrt{n+1} \implies \psi_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}} a_{+}\psi_{n}

최종적으로 임의의 nn번째 상태는 바닥상태에 대해서 다음과 같이 나타난다.

ψn=1na+ψn1=1na+1n1a+ψn2=1n(n1)(a+)2ψn2=1n(n1)(a+)21n2a+ψn3=1n(n1)(n2)(a+)3ψn3==1n!(a+)nψ0=1n!(12mω(mωxddx))n(mωπ)1/4emω2x2=12nn!(1mω)nn(mωxddx)n(mωπ)1/4emω2x2=12nn!(mω)n(mωxddx)n(mωπ)1/4emω2x2 \begin{align*} \psi_{n} &= \dfrac{1}{\sqrt{n}} a_{+}\psi_{n-1} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{n}} a_{+}\dfrac{1}{\sqrt{n-1}} a_{+}\psi_{n-2} = \dfrac{1}{\sqrt{n(n-1)}} (a_{+})^{2}\psi_{n-2} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{n(n-1)}} (a_{+})^{2}\dfrac{1}{\sqrt{n-2}} a_{+}\psi_{n-3} = \dfrac{1}{\sqrt{n(n-1)(n-2)}} (a_{+})^{3}\psi_{n-3} \\ &= \vdots \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{n!}} (a_{+})^{n} \psi_{0} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{n!}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}\left( m \omega x - \hbar \dfrac{\d }{\d x} \right) \right)^{n} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{\hbar m \omega}} \right)^{n} \hbar^{n}\left( \dfrac{m \omega}{\hbar} x - \dfrac{\d }{\d x} \right)^{n} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \left( \dfrac{\sqrt{\hbar}}{\sqrt{ m \omega}} \right)^{n} \left( \dfrac{m \omega}{\hbar} x - \dfrac{\d }{\d x} \right)^{n} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^{2}} \end{align*}

여기서 α=mω\alpha = \frac{m \omega}{\hbar}라고 두면,

ψn(x)=12nn!αn/2(απ)1/4(αxddx)neα2x2 \psi_{n}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \alpha^{-n/2} \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \left( \alpha x - \dfrac{\d }{\d x} \right)^{n} e^{-\frac{\alpha}{2} x^{2}}