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미분연산자와 심볼

정의¹

자연수 $m \in \mathbb{N}$에 대해서 미분 연산자^{differential operator}란, 다음과 같은 맵 $P$를 의미한다.

$$\begin{equation} P = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \le m} a_{\alpha}(x) D^{\alpha},\qquad x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{equation}$$

이때 $\alpha = (\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})$는 멀티인덱스이다. $D^{\alpha}$는 다음과 같다.

$$\begin{align*} D^\alpha &:= \dfrac{\partial ^{|\alpha|} } {{\partial x_{1}}^{\alpha_{1}}\cdots {\partial x_{n}}^{\alpha_{n}}} \\ &= \left( \frac{ \partial }{ \partial x_{1}} \right)^{\alpha_{1}}\left( \frac{ \partial }{ \partial x_{2}} \right)^{\alpha_{2}}\cdots \left( \frac{ \partial }{ \partial x_{n}} \right)^{\alpha_{n}} \\ &= \partial^{\alpha_{1}}_{x_{1}}\cdots\partial^{\alpha_{n}}_{x_{n}} \end{align*}$$

설명

$P$는 적당한 함수공간 $X$, $Y$사이의 사상이다. 물론 $X$의 원소들은 적어도 한 번 미분가능해야할 것이다.

$$P : X \to Y$$

심볼

$(1)$의 $D$를 변수 $\xi = (\xi_{1}, \dots, \xi_{n})$으로 치환하여 얻는 다항식 $p$를 $P$의 토탈 심볼^{total symbol}이라 하다.

$$p(x,\xi) = \sum\limits_{\left| \alpha \right| \le m} a_{\alpha}(x) \xi^{\alpha},\qquad \xi^{\alpha} = \xi^{\alpha}_{1} \dots \xi^{\alpha}_{n}$$

또한 다음의 다항식 $\sigma (x, \xi)$를 $P$의 프린시플 심볼^{principal symbol}이라 한다.

$$\sigma (x, \xi) = \sum\limits_{\left| \alpha \right| = m} a_{\alpha}(x) \xi^{\alpha}$$

설명

토탈 심볼 $p$는 정의에 의해 $(2)$를 만족시키는데, 반대로 $(2)$를 만족하는 다항식 $p$를 $P$의 토탈 심볼이라 정의해도 된다.

푸리에 변환과의 관계

푸리에변환의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$\mathcal{F}[Df] (\xi) = i\xi \mathcal{F}f (\xi) \implies Df (x) = \mathcal{F}^{-1} \left[ i\xi \mathcal{F}f (\xi) \right] (x)$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align} P f(x) &= \mathcal{F}^{-1} \left[ p(\cdot, i\xi) \hat{f}(\xi) \right] (x) \nonumber \\ &= \dfrac{1}{(2 \pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi) e^{i x \cdot \xi} d\xi \end{align}$$